www.fransvanschooten.nl

www.henkhietbrink.nl

Posters

geven informatie over Frans van Schooten en zijn tijd.

Google

Deze afbeelding heeft Google gebruikt op 16 april 2009 ter gelegenheid van de 380^ste geboortedag van Christiaan Huygens.

Welkom

Welkom bij de "Mathematische Oeffeningen" van Frans van Schooten Junior. Hij leefde in de 17^de eeuw en gaf zijn leerlingen les in algebra, meetkunde, vestingbouw en meer.

Rekenen met Frans van Schooten

Frans van Schooten Jr schreef een boek voor het rekenonderwijs. Alle opdrachten zijn geschikt voor onderbouw en bovenbouw van havo/vwo.

Een koopman wil specerijen kopen. Eén pond kaneel kost 3 gulden, één pond kruidnagelen 4 gulden en 10 stuivers, één pond nootmuskaat 3 gulden en 15 stuivers, één pond peper 16 stuivers en één pond gember 15 stuivers. De koopman heeft 1600 gulden en wil van alles evenveel kopen.
Bereken hoeveel pond de koopman kopen van iedere specerij.

Oppervlakte van veelhoekige stukken land

Frans van Schooten Jr schreef een boek voor landmeters met opdrachten over het berekenen van de oppervlakte van een veelhoekig stuk land. Alle opdrachten zijn geschikt voor onderbouw havo/vwo en kunnen zonder sinus- of cosinusregel gemaakt worden.

Meetkundig redeneren met Frans van Schooten
Frans van Schooten Jr schreef een boek met opdrachten over het construeren van lijnen zonder passer of cirkel.
Afstand tussen twee onbereikbare plaatsen
Frans van Schooten Jr schreef een boek voor landmeters met opdrachten over het berekenen van de afstand tussen twee onbereikbare plaatsen.
Instrumenten voor kegelsneden
Frans van Schooten Jr schreef een boek over de "tuychwerckelycke" beschrijving van de kegelsneden. Dat waren kegelsneden die met een werktuig gemaakt konden worden.

Biografie Frans van Schooten

Frans Junior was docent Wiskunde, net als zijn vader, en zijn halfbroer Pieter. Frans Junior zag het belang in van de vernieuwende wiskunde van Descartes. Die schreef voor zijn Discours de la Methode een bijlage La Géométrie. Frans van Schooten perfectioneerde deze bijlage. Frans Junior stimuleerde talentvolle mensen om hem heen, zoals Christiaan Huygens. Frans Junior kende zijn talen en schreef goede boeken. Zijn eigen levenswerk is de Mathematische Oeffeningen.

Een complete biografie staat op mijn website.

algebra met geheeltallige driehoeken

Frans van Schooten zocht naar geheeltallige driehoeken. Dat zijn driehoeken waarvan de lengten van de zijden gehele getallen zijn. Je kunt denken aan rechthoekige driehoeken maar ook aan driehoeken waarvan de deellijn de overstaande zijden in twee geheeltallige stukken deelt.

algebra met François Viète: Zeteticorum Libri Quinque

François Viète nam in zijn boek Opera Mathematica een deel op onder de naam Zeteticorum met daarin een groot aantal opdrachten in de vorm, gegeven dit en dat, bereken de onbekenden, bijvoorbeeld gegeven som en verschil van twee onbekende getallen A en B of gegeven product en quotiënt van twee onbekende getallen A en B, bereken die onbekende getallen.

Workshops

Workshops zijn verzorgd over de 17^de eeuw en de wiskunde van Frans van Schooten, over zonnewijzers, over het tekenen van islamitische patronen, over astrolabes en over weerspiegelingspunten in holle en bolle spiegels.

Muqarnas
Op de NVvW verenigingsdag 2019 gaf ik een workshop over muqarnas waarin ontwerptekeningen gerealiseerd worden met 3D geprinte basiselementen.

Een astrolabe is a mechanisch instrument waarmee je vraagstukken kunt oplossen met betrekking tot de positie van de zon en de sterren, zowel in heden, als verleden als in de toekomst. De website toont een interactieve animatie van een astrolabe. Stap voor stap wordt uitgelegd hoe de stereographische projectie werkt en hoe je al die verschillende lijnen meetkundig kunt construeren.

Ibn al-Haytham / Shape of the Eclipse

Op het The Second International Prof. Dr. Fuat Sezgin History of Science in Islam Symposium spreek ik over een van de experimenten van Ibn al-Haytham om de weerkaatsing van licht in holle en bolle spiegels zichtbaar te maken.

Ibn al-Haytham / Da Vinci

Leonardo da Vinci zou een instrument bedacht hebben om weerspiegelingspunten in bolle spiegels te vinden. In het "Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam" hangt een replica van dat instrument. De replica is gebaseerd op een beschrijving uit de twintigste eeuw. Maar komt die beschrijving wel overeen met wat Leonardo da Vinci opschreef? Tijdens de Nationale Wiskunde Dagen liet ik aan de hand van de originele Italiaanse tekst zien wat da Vinci werkelijk deed.

De handout en presentatie staan op mijn website.

NVvW Virtueel 2020: Simon Stevin: Sterctenbovwing

Simon Stevin schreef in 1594 over vestingbouw in zijn boek "Sterctenbovwing". In de Noordelijke Nederlanden is hij een van de eerste auteurs die over dit onderwerp in het Nederlands schrijft. In het tijdschrift Saillant staat zomer 2021 mijn bijdrage Onderwijs in de vestingbouw in de zeventiende eeuw: cursussen en manuscripten uit de Van Schooten generatie.

De PDF is beschikbaar op mijn website.

VVWL: Simon Stevin: Tafelen van Interest

Voor het tijdschrift Wiskunde & Onderwijs, uitgegeven door de Vlaamse Vereniging voor Wiskunde Leraars (VVWL), een vereniging voor en door wiskundeleerkrachten, heb ik winter 2020 geschreven over hoe Stevin aankeek tegen enkelvoudig en samengesteld interest (rente op rente) in zijn boek Tafelen van Interest.

Vorselaar 2020: meetkunde opdrachten van Frans van Schooten

Op de Focusdag van Thomas More in Vorselaar (Begie) geeft Henk Hietbrink een workshop over de meetkunde opdrachten van Frans van Schooten (1615-1660). Deze verrassende opdrachten doen het nog altijd goed in de wiskunde les. Bovendien was Frans van Schooten een goed didacticus. Er zit er een heldere leerlijn in de opdrachten.

NWD 2020: Weerspiegelingspunten

Leonardo da Vinci zou een instrument bedacht hebben om weerspiegelingspunten in bolle spiegels te vinden. In het "Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam" hangt een replica van dat instrument. De replica is gebaseerd op een beschrijving uit de twintigste eeuw. Maar komt die beschrijving wel overeen met wat Leonardo da Vinci opschreef? Tijdens de Nationale Wiskunde Dagen liet ik aan de hand van de originele Italiaanse tekst zien wat da Vinci werkelijk deed.

Ik ben Den Haag met Kunst !

Meetkunde van Toen voor Nu

Hiernaast staat een constructie van Frans van Schooten Junior. Die beweerde dat lijn AG een deellijn van hoek A is. Leerlingen van nu krijgen de opdracht om aan te tonen dat het resultaat van deze constructie altijd een deellijn is.

Leerling opdracht bij bladzijde 122.

Er was eens een rijke boer met een groot weiland. Zijn twee dochters kregen ieder een helft van alles. De boerderij stond op een hoek van het weiland. De zussen wilden allebei zoveel mogelijk weiland zo dicht mogelijk bij de boerderij. De zussen besloten eerlijk te delen, maar wisten niet hoe dat moest.

applet + constructievoorschrift
Bij iedere opdracht zijn applets gemaakt. Dat zijn animaties waarin de tekening bij het bewijs stapgewijs wordt opgebouwd.

Omdat … daarom… dus …

Een meetkundige redenering bouw je op in kleine, overzichtelijke stappen. Je begint allereerst met op te schrijven wat gegeven is, want dat is alles waar je vanuit mag gaan. Daarna bouw je de redenering op. Die sluit je af met de conclusie dat je het gevraagde bewezen hebt. In de redenering gebruik je herhaaldelijk Omdat ... Daarom ... Dus .... In iedere Dus bewijs je iets nieuws. Dat wat je zojuist bewezen hebt, kun je in een volgende Omdat gebruiken om een nieuwe redenering Daarom te maken. Vaak levert de Daarom extra informatie op. Die extra informatie schrijf je op in de Dus. Zo kom je iedere keer een stap dichter bij het doel. Uiteraard sluit je af met je conclusie: dat je bewezen hebt wat je wilde bewijzen.

Meetkunde tijdens de Tachtigjarige Oorlog

Hiernaast staat een andere constructie, ook van Frans van Schooten Junior. Hij leerde zijn studenten dat je de afstand naar een onbereikbaar punt aan de overkant van een rivier, kunt opmeten zonder er naar toe te gaan. Leerlingen van nu krijgen de opdracht om aan te tonen dat de op te meten afstand altijd even groot is als de afstand tot het onbereikbare punt, waar je door de vijand beschoten kunt worden.

Leerlingenwerk

Leerlingen hebben bovenstaande opdracht gemaakt op grote vellen A2 papier. Doel was dat ze stap voor stap een sluitende redenering opbouwen. Ze kregen de volgende opzet mee: Omdat … daarom… dus …
In de docentenhandleiding staat dit voorbeeld:
Omdat .... (een driehoek twee even lange zijden heeft)
daarom .... (is de driehoek gelijkbenig)
dus .... (zijn de basishoeken even groot)
Een groepje heeft het zo opgeschreven:

omdat … daarom… dus …

Docentenhandleiding

Meer informatie over de organisatie van de les en lesvoorbereiding staat in de docentenhandleiding. Ook zijn er posters gemaakt en is er een overzicht van alle materiaal op deze website.

docenten handleiding
vergrotingen en congruentie
overzicht
posters

Uitwerkingen 2 havo/vwo

Een 2 havo/vwo klas heeft de opdracht buiten op het schoolplein uitgevoerd om te zien dat de constructie van Frans van Schooten echt een deellijn oplevert.

Leerling opdracht bij bladzijde 122.

Uitwerkingen 3 vwo

Hieronder staan drie uitwerkingen van leerlingen uit 3 VWO die 50 minuten lang serieus en hard gewerkt hebben.

Leerling opdracht bij bladzijde 122.

Uitwerkingen 5 vwo

Een 5 vwo klas met wiskunde B heeft de opdracht op bladzijde 123 zelfstandig uitgewerkt. Vooraf kregen ze alleen het advies om iedere stap uit te werken met "Omdat ... daarom ... dus". Deze opdracht is een variatie op de opdracht op bladzijde 122.
Een ander duo heeft de opdracht op bladzijde 127 zelfstandig uitgewerkt.
Hieronder staan hun uitwerkingen.

Leerling opdracht bij bladzijde 123.
Leerling opdracht bij bladzijde 127.

Verrassende constructies

Frans van Schooten werkte anders dan wij in de 21^ste eeuw gewend zijn. Hij gebruikte geen passer, geen geodriehoek en ook geen gradenboog. Hij tekende driehoeken en verraste zijn leerlingen met een deellijn, een loodlijn of een punt halverwege een lijnstuk. Hij bedacht verschillende constructies die altijd als resultaat een deellijn geven, waar de hoekpunten van de driehoek ook getekend zijn, hoe groot de hoeken ook zijn, hoe lang de zijden ook zijn. Dat maakt zijn constructies zo verrassend. Frans van Schooten legde stapsgewijs de constructie uit en vroeg daarna om te bewijzen waarom de constructie altijd tot het gewenste resultaat leidde.

alle constructies

Opdrachten

Leerlingen uit de onderbouw van Havo/Vwo construeren ook nu nog deellijnen, hoogtelijnen, zwaartelijnen, loodlijnen en middenparallellen. Daarom zijn de opdrachten van Van Schooten nog altijd actueel. Bovendien zijn ze verrassend anders. Zijn uitleg is heel anders dan wij gewend zijn. Daarom staan op de leerlingen pagina de opdrachten in modern woordgebruik.

meer opdrachten

Artikel Euclides 85-7

In het juli nummer van Euclides verscheen een artikel over de opdrachten op deze website.

artikel op bladzijde 279-282

NvvW 2009

Op de NvvW dag, 7 november, Nieuwegein, kon u kennismaken met de maker van deze website.

Andere voorbeelden

Hieronder staan constructies om bijvoorbeeld een lijn in twee gelijke stukken te delen. Of om een lijn evenwijdig aan een andere lijn te construeren.

Zonder naar B te gaan

Ook heeft Frans van Schooten constructies gemaakt om de afstand van A naar B op te meten zonder naar B te gaan.

Wiskunde E-brief

In de wiskunde E-brief stond een oproep: "Welke docenten willen met dit materiaal een les Meetkundig Redeneren verzorgen voor leerlingen die niet van A naar B willen."?

Actueel voor Havo en Vwo

Leerlingen uit de onderbouw van Havo/Vwo construeren ook nu nog deellijnen, hoogtelijnen, zwaartelijnen, loodlijnen en middenparallellen.

Docenten

Uitwerkingen, posters en een handleiding zijn beschikbaar.

Leerlingen

Alle opdrachten zijn in moderne taal geschreven voor Havo en Vwo leerlingen van nu. Hoeknotatie in de onderbouw is ∠A₁ en ∠B_2,3. Bovenbouw opdrachten zijn in de drieletternotatie ∠BAC.

Belangstellenden

Historische en wiskundige achtergrond informatie voor een volledig beeld.

Bijlage

Hier staan constructies om de afstand van A naar B op te meten zonder naar B te gaan.

Hoe bepaal je de lengte van de afstand van A naar B,
als je niet van A naar B kunt gaan om het op te meten?

Oproep in Wiskunde E-brief

Dit is een oproep aan alle wiskunde docenten die dit jaar een praktische en aansprekende les Meetkundig Redeneren willen geven.

De afbeelding hiernaast is van Frans van Schooten Junior en stamt uit de tijd van de Tachtigjarige Oorlog. Hij gebruikte die in zijn lessen om landmeters en ingenieurs uit te leggen hoe je de afstand van A naar B kunt opmeten, als je niet van A naar B kunt gaan. Je ziet een kanon in A en een vijandelijk bolwerk in B aan de overzijde van de rivier. Die afbeelding komt uit zijn boek "Mathematische Oeffeningen" uit 1660. Frans van Schooten Junior tekende een paar driehoeken en toonde aan dat de afstand van A naar G even lang is als die van A naar B. Wie de schets goed bekijkt, herkent de gelijkvormigheid. Dat kunnen leerlingen uit 3 Havo/Vwo ook. Zij kunnen (met een beetje hulp) bewijzen dat afstand AG evenlang is als AB. Dit voorbeeld is een van de actuele opgaven in de historische context van de 17^de eeuw in de Republiek der Nederlanden.

Vorig schooljaar hebben leerlingen uit 3 en 4 VWO aan dit soort opdrachten gewerkt. Ze werden aangeboden in het historische kader van de Tachtigjarige oorlog (ingenieurs en landmeters waren nodig voor een succesvolle belegering) en de Gouden Eeuw (de opkomst van de moderne filosofie, logica, de tijd van Descartes). Het lesplan staat in de docentenhandleiding. Door deze insteek waren de opdrachten ook interessant voor leerlingen die Wiskunde A kiezen. Het motto is daarom: "Meetkunde voor leerlingen die niet van A naar B willen".

Wie deze opdrachten wil gebruiken in een les of wie meer wil weten, kan een e_mail sturen naar: frans.van.schootenplanet.nl.

docenten handleiding

www.HenkHietbrink.nl