www.fransvanschooten.nl

 

 

Cartografie en Kunst

Plattegronden van vestingwerken en het verloop van een aanval op een stad zijn vaak goed gedocumenteerd, bijvoorbeeld op tekeningen of schilderijen.


 

Frans van Schooten Sr heeft een gedetailleerde kaart gemaakt van het beleg van Groenlo in 1627.

Kaartproductie Frans van Schooten Sr

 

Posters Simon Stevin

Bij leerlingen introduceer ik Simon Stevin met twee posters. Op de ene staat zijn buste en op de andere de zeilwagen.

Poster Stevin

Poster Zeilwagen

 

Alle posters

 

Vestingbouw

Simon Stevin schreef in 1594 over vestingbouw in zijn boek "Sterctenbovwing". In de Noordelijke Nederlanden is hij een van de eerste auteurs. Tijdens de jaarvergadering van de NVvW zal Henk Hietbrink een workshop verzorgen over vestingbouw aan de hand van manuscripten en boeken uit de tijd van Simon Stevin en Frans van Schooten.

Workshop
     Soapbox video
     Handout
     Opdracht 1: Goldmann
     Opdracht 2: Stevin
     Opdracht 3: Alghisi
     Opdracht 4: Metius
     Opdracht 5: Pieter van Schooten
     Opdracht 6: Cellarius
     Vergelijking van de opdrachten
     Presentatie
 

Simon Stevin
     Inleiding
     Grontteyckening
     Verheven teyckening
     Vergelijking van vestigingen
     Literatuur

4

3

4

 

Geschiedenis

Vestingbouw was in de zestiende en zeventiende eeuw een serieuze aangelegenheid waar veel geld, arbeid en materiaal mee gemoeid was. De aanvallende partij mobiliseerde steeds grotere legers met steeds zwaardere kanonnen. Deze kanonnen konden in korte tijd de middeleeuwse muren en torens kapot schieten. De verdedigende partij introduceerde nieuwe vormen van verdediging om een stad te beschermen.
Inzichten veranderden voortdurend. Lokale omstandigheden als terreingesteldheid speelden een rol. De aanvaller paste steeds zijn tactiek aan en de verdediger moest daar weer op reageren. In de loop der decennia volgden enkele systemen elkaar op. Het begon met het Italiaanse vestingstelsel uit de tijd dat Karel V oorlog tegen de Franse koning voerde in Noord Italië. Aan het begin van de tachtigjarige oorlog tegen Philips II ontwikkelt zich het Oud-Nederlands vestingstelsel. Na 1670 introduceert Menno van Coehoorn het Nieuw-Nederlands Vestingstelsel.
De grote steden werden van grachten en bastions voorzien, maar ook werden nieuwe vestingsteden als Bourtange gebouwd. Langs de grote rivieren is na 1600 een complete linie van vestingen aangelegd om een inval te kunnen opvangen en vertragen.

Wiskunde

Aan het einde van de zestiende eeuw verschenen de eerste boeken over fortificatie. Sommige waren prentenboeken met afbeeldingen van steden en hun versterkingen. Simon Stevin was in 1594 een van de eerste die het ontwerp van een vesting systematisch beschreef en verslag deed van de discussie over de nieuwste ontwikkelingen. In de zeventiende eeuw verscheen een groot aantal boeken over vestingbouw met een wiskundige insteek. Ieder zich zelf respecterende schrijver had een eigen methode om te rekenen aan de afmetingen van een vesting. Waar de ene auteur werkte met alleen rechthoekige driehoeken, liet de ander zien dat hij de sinusregel beheerste of zelfs de tangensregel. Ook koos iedere auteur voor eigen uitgangspunten met iets andere hoeken en lengtes waardoor iedere vesting er net iets anders uitzag. In Geogebra is een animatie gemaakt dat een overzicht geeft van de voorstellen van een groot aantal auteurs, van Simon Stevin tot Abraham de Graaf. Zo kunnen de verschillende ontwerpen met elkaar vergeleken worden.

Sterctenbovwing
Grontteyckening
Verheven teyckening
Vergelijking van vestingen

 

top
 


Sterctenbovwing

In het tweede hoofdstuk, legt Stevin uit hoe je de ideale zeshoekige vesting moet tekenen. Op bladzijde 7 begint de constructie van de grontteyckening (ichnographia) oftewel het bovenaanzicht. Op bladzijde 22 begint de constructie van de verheven teyckening oftewel de dwarsdoorsnede.
De tekeningen zijn uitgedrukt in Rijnlandse roeden, een oude lengtemaat. Een Rijnlandse roede is omgerekend 3,767 meter lang. De Rijnlandse roede werd meestal onderverdeeld in 12 voet. Een voet is dan 31,39 cm lang.
De vorm van bovenaanzicht en dwarsdoorsnede komt in veel andere boeken terug. Daardoor lijkt het alsof alle ontwerpen gelijk zijn en lijkt het of alle auteurs hetzelfde verhaal vertellen. Analyse van de rekenschema's leert dat er echter grote verschillen zijn in de afmetingen van de voorgestelde vestigingen. Verschil is er ook in de manier waarop de bolwerkshoek berekend wordt. Die varieert van 60° tot een stompe hoek.

Grontteyckening
Verheven teyckening
Vergelijking

Van Stevin zijn bijna geen vestingontwerpen bekend. Hoewel sommige auteurs dat graag anders hadden gezien en er heel wat verhalen in omloop zijn over de vermeende productie van Stevin. Ook circuleren er verhalen dat Stevin voor Harderwijk een veel te grote en dure vesting had ontworpen en dat anderen een veel kleinschaliger ontwerp voorstonden. Uit de reconstructie van Hoefer blijkt bovenal dat Harderwijk geen geld wil of kon besteden aan haar verdedigingswerken en de realisatie tientallen jaren voor zich uit heeft geschoven. Prins Maurits had Simon Stevin en David Orliens gevraagd om de vorderingen te inspecteren en constateerden dat Frans Westra schreef in 1993 een kritisch artikel in Caert Thresoor over het bestaan van getekende militair-topografische kaarten of vestingplannen van Simon Stevin.

F. Westra, Bestaan er getekende militair-topografische kaarten of vestingplannen van Simon Stevin?

Een van de weinige kaarten die een kopie zou kunnen zijn van een kaart van Stevin is de tekening van de fortificaties in IJzendijke uit 1605.

1
 

Bron: Algemeen Rijksarchief, 4910-II

 

top
 


Grontteyckening

Op bladzijde 11 herhaalt Stevin wat hij op bladzijde 8 begonnen is. Op bladzijde 8 staan de maten van de zeshoekige vesting, en op bladzijde 11 staat hoe deze afmetingen op papier getekend kunnen worden. Op bladzijde 8 staat bijvoorbeeld het principe "Ten 3en, de breede des strijckhoucx {Flanc.} opde voorsijde des tants vande middelplaets, met de dickte des schutsels {Oreillon.}, t'samen 140 voeten." en op bladzijde 11 staat de instructie "Ten 3en, om te hebben de breede des strijckhoucks {Flanc.}, met de dickte van haer schutsel {Oreillon.} soo treck ick HM lanck 140 voeten, ende rechthouckich op BC. Inder selver voughen treck ick IN rechthouckich op BG, ende KO rechthouckich op CB, doende der ghelijcke op al dander der ghelijcke plaetsen."

maten bij de grontteyckening
 

De animatie toont nauwgezet de stappen die Stevin zet bij de construeren van de tekening. De tekening is uitgedrukt in Rijnlandse roeden (3,767 meter). De animatie toont afstanden in roeden en in meters.
Opvallend is hoe zorgvuldig de houtsnede is gemaakt. Alle lijnen en punten liggen goed op hun plaats.

1
grote versie geogebra applet inclusief zoom

 

top
 


Verheven Teyckening

Op bladzijde 22 geeft Stevin de maten van de verschillende onderdelen van een zeshoekige vesting. Op bladzijde 23 geeft hij aan hoe alles in een tekening gezet kan worden.

maten bij de verheven teyckening
 

De animatie toont nauwgezet de stappen die Stevin zet bij de construeren van de tekening. De tekening is uitgedrukt in Rijnlandse voeten (31,39 cm). De animatie toont lengte, breedte en hoogte in voeten en in meters. Ook deze houtsnede is accuraat gemaakt, want bijna alle lijnen en punten liggen perfect op hun plaats. Alleen de punten N en O, die de ligging van de verdiepte middelgracht markeren zijn niet juist aangegeven.
Pas wanneer voeten omgerekend worden naar meters valt op hoe hoog Stevin's vesting is (stap 13) en hoe diep de gracht (stap 18) is. Het is onwaarschijnlijk dat een hoogte en diepte van tien of meer meter in de zeventiende eeuw gerealiseerd konden worden in de slappe Hollandse veengronden met zijn hoge grondwaterstanden. Na 1600 verschijnen er in Nederland veel boeken over vestingbouw. De voorgestelde vesting is dan nog maar enkele meters hoog en de gracht slechts twee meter diep. Het ontwerp van Stevin met wallen van 12 meter hoog en grachten van 17 meter diep past eerder bij de terreingesteldheid van Vlaanderen, Brabant en Henegouwen.

1
grote versie geogebra applet inclusief zoom

 

top
 


Vestingen en versterkingen

Niet alleen werden de middeleeuwse muren van de steden vervangen door vestingwerken met grachten en bastions, ook werden er op militair strategische plaasten vestingen gebouwd met als doel een vijandelijke opmars te hinderen. Daarnaast werden er tijdelijke vestigingen gebouwd waarmee een belegeraar zichzelf verschanste tegen een ontzettingsleger of tegen uitvallen van de belegerden. Rond 105 werd er een linie van vestingwerken gebouwd langs de rivieren Waal en IJssel om een inval van het Spaans - Koninklijke leger te stuiten.
Hieronder staat een afbeelding uit het boek Delle Gverre Di Fiandra Libri VI van Pompeo Giustiniano, gedrukt in 1609 in Antwerpen. De onderkant van de tekening betreft het zuiden en oosten. Een deel van die steden is in staatse handen. Boven de rivieren, dat wil zeggen ten noorden van de Waal en ten westen van de IJssel, is een reeks vestingen zichtbaar. Spaanse legers trokken bij voorkeur de IJssel over omdat deze in de zomer doorwaadbaar was. De garnizoenen in die vestingen moesten een oversteek verhinderen.

1
 

top
 


Vergelijking

In de zeventiende eeuw verscheen een groot aantal boeken over vestingbouw. Ieder zich zelf respecterende schrijver had een eigen systeem om aan de afmetingen van een vesting te rekenen. Waar de ene auteur werkte met alleen rechthoekige driehoeken, liet de ander zien dat hij de sinusregel beheerste of zelfs de tangensregel. Ook koos iedere auteur voor eigen uitgangspunten met iets andere hoeken en lengtes aardoor iedere vesting er net iets anders uitzag.

In Geogebra is een animatie gemaakt dat een overzicht geeft van de voorstellen van een groot aantal auteurs, van Simon Stevin tot Abraham de Graaf. Zo kunnen de verschillende ontwerpen met elkaar vergeleken worden.

1
grote versie geogebra applet inclusief zoom

 

Workshop

Zaterdag 7 november 2020 is de workshop Vestingbouw. Vooraf kun je de introductie video bekijken. Ook de handout met opdrachten is al beschikbaar. Tijdens de workshop is er ruimte voor vragen.

Soapbox video

PDF handout

PDF presentatie

 

 

 

Museum Het Bolwerk

Museum Het Bolwerk in IJzendijke organiseert tentoonstellingen en lezingen over Simon Stevin, de Staats-Spaanse linies en vestingbouw. Op 11 september hield prof dr P. Lombaerde een lezing over de Nederlandse en Spaanse vestingbouw met bijzondere aandacht voor Dammme en IJzendijke.

Bastions zonder Grenzen

Facebook

 

Vive l'arithmétique!

De Vlaamse Erfgoedbibliotheken hebben de online tegenhanger opgezet van de expo Simon Stevin van Brugghe in het Stadsarchief Brugge. De werktitel van Vive l'arithmétique! is "Het verhaal van zes wiskundige boeken uit de tijd van Simon Stevin". Deze webexpo is gratis en reserveren is niet nodig. De link mag verspreid worden.

Vlaamse Erfgoedbibliotheken

webexpo: Vive l'Arithmétique

 

Visit Brugge

Brugge besteed aandacht aan haar beroemde zoon Simon Stevin.

videos over Simon Stevin

 

 

 

Ad Davidse

Ad Davidse is de motor achter de indrukwekkende website over Simon Stevin.

Wonder en is gheen wonder

 

3D print

Met een 3D printer is een schaalmodel gemaakt van een zeshoekige vesting. Stevin stelde zelf voor dat docenten instructie gaven met een houten voorbeeld. Met een gespannen draad konden ze met dat model de strijklijnen en defensielijn zichtbaar maken.

 

Frans van Schooten

Frans van Schooten Sr is geboren aan het begin van de Tachtigjarige Oorlog. Zijn zoons Frans Jr en Pieter hebben de vrede van Munster meegemaakt.

Tachtigjarige Oorlog

 

Kaarten

Frans van Schooten Sr heeft gedetailleerde en goed verzorgde kaarten gemaakt van de vestingwerken bij Bergen op Zoom (1622) en Groenlo (1627). Pieter van Schooten heeft voorstellen gedaan voor de vestingwerken van Utrecht (1660).

Landmeting en Cartografie

 

 

 

 

top
 


De Opstand / De Tachtigjarige Oorlog

Wat ging er vooraf aan het jaar 1594, het jaar waarin Simon Stevin de Sterctebovwing schreef? Het was tijd voor een vernieuwend boek over vestingbouw. De jaren voor 1594 waren hectische tijden geweest. In opstand komen tegen het koninklijk gezag had nogal wat gevolgen. Een mensenleven was niet veel waard en je eigendommen kon je zo kwijt raken. Grote delen van de Nederlanden werden geteisterd door strijdende legers, door muitende soldaten, door stropende cavaleristen, door hongerige mannen en vrouwen. Religieuze fanatici scherpten tegenstellingen aan. Ook kon je land onder water gezet worden. Je zal maar boer zijn geweest, geen oogst, wel pacht betalen. In 1585 waren de Nederlanden definitief uiteengevallen. Ooit was Willem van Oranje burggraaf van Antwerpen. In 1584 werd hij vermoord en in 1585 werd het opstandige Antwerpen ingenomen door Spaanse troepen. Vanaf toen gingen de Zuidelijke en Noordelijke Nederlanden ieder zijn eigen weg. Prins Maurits, zoon van Willem van Oranje werd de nieuwe legeraanvoerder. Simon Stevin draagt zijn boek Sterctebovwing aan hem op. Hieronder volgt een kort historisch overzicht met het accent op de vestingbouw.

1568-1585: Willem van Oranje

De tachtig jarige oorlog begon in 1568 met drie veldslagen door professionele legers. Er was nog geen sprake van een volksopstand. In 1572 veroverde Lodewijk van Nassau met zijn leger de stad Bergen in Henegouwen zonder geweld. Zutphen werd met hulp van binnenuit in een dag veroverd door Willem van den Bergh, die vervolgens steden in de wijde omtrek opeiste. Vaak gaf een stad binnen een dag al op, zonder serieuze gevechten. Zijn operatie leek op een strooptocht met plundering, afpersing en een bloedige nasleep voor katholieken. In Holland en Zeeland werden steden gedwongen door onder andere de watergeuzen om de kant van de opstand te kiezen. Ondertussen trok Willem van Oranje door Brabant en Vlaanderen. Veel steden kozen zijn kant. In het zelfde jaar gaat het Spaans gezag in de tegenaanval. De strategie was om de steden één voor één te onderwerpen aan het koninklijk gezag. De tactiek om met een groot leger de omwalling van een stad te doorbreken was in de decennia daarvoor uitgebreid beproefd in Italië en Frankrijk. De stad Bergen werd drie maanden lang belegerd, een ontzettingsleger werd verslagen en Lodewijk van Nassau gaf zich over. Hij mocht eervol de stad verlaten. Mechelen, toen de hoofdstad van de Nederlanden, gaf zich over, maar werd wreed geplunderd. Het zelfde overkwam Zutphen. Na een dag van beschietingen gaf Zutphen zich over en werd uitgemoord, als een waarschuwing voor de andere steden. Daarna was Naarden aan de beurt. Naarden verwachtte er genadig vanaf te komen, maar werd uitgemoord. Bij Haarlem duurde het beleg zeven maanden en als de stad Amsterdam de kant van de opstand hadden gekozen, dan was Haarlem nooit gevallen. Haarlem mocht zich op gunstige voorwaarden overgeven: alleen de ingehuurde soldaten werden vermoord. In 1573 en 1574 weerstonden Alkmaar en Leiden het beleg. Het Spaanse leger beschikte niet over genoeg zware kanonnen en munitie om de vestingwerken te slechten. Ook moest het in de wijde omgeving vechten om het cordon om de stad gesloten te houden. In 1575 konden kleinere steden als Oudewater en Schoonhoven, maar ook Zierikzee zich niet staande houden. Vanaf 1579 ging onder leiding van de Spaanse generaal Alexander Farnese (bekend als de hertog van Parma) de oorlog verder in de Zuidelijke Nederlanden. Veel steden gaven zich binnen een dag gewonnen, maar de vesting Maastricht werd meer dan drie maanden belegerd, die van Doornik zeven weken en die van Oudenaarde ook. Het beleg van Antwerpen duurde zelfs 14 maanden. De aanvaller schoot met zwaar geschut bressen in de muren en de bastions, naderde de stad met loopgraven en mijngangen, liet vanuit de gangen bommen ontploffen om de wallen op te blazen, sloeg tegenaanvallen van ontzettingslegers af, waarop de stad zich uiteindelijk in 1585 moest overgeven.

1588-1594: Prins Maurits

In 1588 werd Prins Maurits legeraanvoerder. Samen met de Staten generaal werd het leger gereorganiseerd, de financiering herzien, de bevoorrading aangepakt, de productie van zwaar geschut in eigen hand genomen. In 1591 nam Maurits met listen de steden Breda en Zutphen in. De belegering van Deventer kostte hem slechts twee weken. Het jaar erop werden Steenwijk en Coevorden belegerd. Beide steden hadden goede vestingwerken en een garnizoen dat dacht te kunnen rekenen op een ontzettingsleger. Maurits en zijn neef Willem Lodewijk doorbraken de hegemonie van de Spaanse legerleiding. Een nieuw tijdperk begon. De oorlogsvoering werd een vestingenstrijd. Niet langer gaf een stad zich na enkele uren over aan een legertje van een paar honderd man. Maurits beschikte over een leger van 4000 manschappen en 1500 ruiters en over tientallen kanonnen die per dag duizenden schoten afvuurden op de wallen. Toch was deze vuurkracht zelden voldoende om een bres te slaan, maar wel om de verdedigers van de muren af te schieten. Uiteindelijk werd de vesting vanuit loopgraven benaderd, werd de gracht gedempt, werden de wallen ondermijnd en het ontzettingsleger op een afstand gehouden door een veldleger dat veilig was in schansen met droge grachten, wallen en bastions. Na twee maanden belegering gaf Steenwijk zich over en na vijf weken gaf Coevorden de strijd op. Coevorden stond bekend als een moderne vesting, maar was dus geen partij voor een moderne aanvaller met voldoende kanonnen, ingenieurs en een goed getraind leger.

Een vestingwerk dat een aanval wel kan weerstaan

De voorgeschiedenis van de Sterctenbovwing is dus een verhaal van vestingen en steden die ofwel via list en verraad veroverd worden, dan wel zich bij voorbaat overgeven, maar ook van vestingen die met een garnizoen van slechts een paar duizend soldaten in staat waren om een numeriek veel grotere aanvalsmacht van tienduizend en meer soldaten maandenlang te weerstaan. Rond 1590 was vestingbouw dus heel belangrijk. Veel geld en mankracht werd besteed aan het weerbaar maken van de Nederlandse steden. Het was in deze tijd dat Simon Stevin zijn Sterctenbovwing schreef. Hij deed een voorstel voor een vestingwerk dat een aanvaller wel kon weerstaan.

Duytsche Mathematique

Simon Stevin heeft in 1600 de instructie geschreven voor de Duytsche Mathematique. Daarin staat het curriculum waaraan generaties van Schooten (Frans Sr, Frans Jr en Pieter) zich gehouden hebben. Onderdelen van het programma zijn rekenen, landmeten en vestingbouw, zowel ontwerpen op papier als uitzetten in het veld. Van Frans Sr en van Pieter van Schooten zijn enkele manuscripten over vestingbouw bewaard in de universiteitsbibliotheken van Groningen en Leiden.

Leiden: BPL 1013, Frans van Schooten
Leiden: BPL 1993, Pieter van Schooten
Groningen: HS 441, Pieter van Schooten

 

 

Wikipedia

Op wikipedia staan veel artikelen over de Tachtigjarige Oorlog.


 

Tachtigjarige Oorlog

 

NVvW

De Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

  • komt op voor de vakspecifieke belangen van wiskundeleraren
  • waakt over de kwaliteit van het wiskundeonderwijs
  • houdt leraren op de hoogte van nieuwe ontwikkelingen op hun vakgebied
  • organiseert examenbesprekingen
  • houdt ieder jaar op de eerste zaterdag van november de jaarvergadering en studiedag

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

Jaarvergadering / Studiedag

 

top
 


Handout

Deze handout is ontwikkeld voor de workshop Vestingbouw op de NVvW studiedag van 7 november 2020.

Bij iedere opdracht staat een tekening. De tekeningen komen uit de boeken die geschreven zijn door bovenstaande personen. Soms was enige beeldbewering noodzakelijk om een tekening leesbaar te maken. Vaak zijn extra punten en labels toegevoegd om de opdrachten eenduidig te formuleren.

De afmetingen zijn meestal uitgedrukt in Rijnlandse roeden, een oude lengtemaat. Omgerekend is die 3,767 meter lang. De Rijnlandse roede werd meestal onderverdeeld in 12 voet. Een voet is dan 31,39 cm lang. Een vierkante roede is één roede breed bij één roede lang, oftewel 14,2 m2. Een andere oppervlaktemaat is de morgen. Een morgen is 600 vierkante roeden. Omgerekend is dat ongeveer 8520 m2 en dat is iets minder dan een hectare.

Alle opdrachten in deze handout zijn gebaseerd op een regelmatige vijfhoek, maar sommige auteurs beschrijven alle veelhoeken, van de vierhoek tot en met twaalfhoek. In hun boeken is stof genoeg voor nog tientallen verrassende opdrachten.

PDF handout

PDF presentatie

uitwerkingen in GeoGebra

3
 

© Illustratie: C. Weber

Terminologie

Vestingbouw heeft zijn eigen terminologie. Kun jij in de tekening de volgende onderdelen aanwijzen?

  • Courtine
  • Flank
  • Face
  • Keel
  • Hoofdlijn
  • Strijklijn
  • Defensielijn

antwoord op deze vraag

 

Nikolaus Goldmann

Hiernaast staat een tekening uit het boek La nouvelle fortification van Nikolaus Goldmann uit 1645. Hij was van Duitse origine en gaf lang en verdienstelijk privelessen in Leiden in de tijd dat de familie Van Schooten doceerde aan de Duytsche Mathematicque. Jeroen Goudeau is gepromoveerd op het werk van Goldmann.

Jeroen Goudeau: Nicolaus Goldmann (1611-1665) en de wiskundige architectuurwetenschap

 

top
 


Opdracht 1

In de tekening hiernaast is lijnstuk ab de zijde van de veelhoek en lijnstuk AX is de afstand tussen de punten van twee naastgelegen bolwerken. Lijnstuk AR de face.

Construeer op schaal een symmetrische vijfhoekige vesting op de manier van Nikolaus Goldmann:

  • de courtine, ST, de wal tussen de beide flanken, is 40 roede
  • de flanken, RS, staan loodrecht op de courtine en zijn 6,7 roede lang
  • de kelen, aS en Tb, in het verlengde van de courtine, zijn ieder 9,2 roede lang
  • de strijklijn, AM, het verlengde van de face snijdt de courtine halverwege

Bereken:

  • de grootte van de bolwerkshoek PAR van een punt van een bolwerk
  • de afstand AX tussen de punten van twee naastgelegen bolwerken
  • de oppervlakte van een bolwerk, (veelhoek eghid)

Doorzetters kunnen ook de lengte van defensielijn AT uitrekenen.

Officieel is een bastion een vijfhoek en is zijde de de keel, maar wiskundig ingestelde schrijvers als Goldmann werkten liever met zijden cd en ce als keel.

Tip: maak eerst een tekening met geogebra en gebruik de uitkomsten om je antwoorden te controleren.
Waarschuwing: punt R ligt beslist niet op de cirkel, maar iets daar buiten.

In GeoGebra is een uitwerking gemaakt van deze opdracht. Daar kun je variëren met andere veelhoeken.

aantal zijden:45678910
courtine ST:40404040404040
flank RS:5,06,77,58,39,210,010,0
keel aS:9,19,29,710,210,510,711,2

 
Uitwerking in GeoGebra

2
 

Wikipedia

Op wikipedia staan veel artikelen over vestingbouw tijdens de Tachtigjarige_Oorlog.


 

Oud-Nederlands vestingstelsel

Lijst van vaktermen in de vestingbouwkunde

Bastion

 

Simon Stevin

Simon Stevin was een vernufteling: een uitvinder en een wetenschapper. Hij gooide twee loden ballen met verschillend gewicht van de toren van Delft. Volgens de traditie moest de zware bal het snelst vallen. Stevin beweerde dat ze even snel zouden vallen. Simon Stevin leerde Europa rekenen met decimale breuken: "De Thiende". Hij schreef over wiskunde, natuurkunde, techniek en de Nederlandse taal. Van hem zijn de woorden "wisconst", "middellini", "omtreck" en "euewydighe". Hij was leraar van Prins Maurits en kwartiermeester in het Staatse leger. Stevin schreef in 1600 het programma voor de Ingenieursschool in Leiden. Daar gaven Frans van Schooten Senior en Frans van Schooten Junior en Pieter van Schooten les.

 

top
 


Opdracht 2

Simon Stevin schreef in 1594 als een van de eersten een helder boek over vestingbouw in begrijpelijk Nederlands. Hij gaf precies aan hoe hoog en breed de wallen en bastions moesten zijn en hoe breed en hoe diep de gracht. Onderstaande tekening komt uit zijn boek Sterctenbovwing. In Google Forms staan drie vragen. De eerste vraag gaat over de hoogte van de bastions, de tweede over de diepte van de gracht. De derde vraag is waar in Nederland dit voorstel gerealiseerd is.

Google Forms

In GeoGebra is een uitwerking gemaakt van deze opdracht.

1
 

Sterctenbovwing

Het boek Sterctenbovwing is digitaal beschikbaar. Een wetenschapelijke uitgave staat op de website van het KNAW.

google books

KNAW

BSB-MDZ

 

Alghisi

Galasso Alghisi da Carpi was een Italiaans architect uit de Renaissance. Hij vond dat vestingbouw niet overgelaten kon worden aan militairen en schreef een boek hoe een vesting met bastions er uit moest zien. In Delle fortificationi libri beschrijft hij de vijfhoek tot en met de een-en-twintig hoek.

 

top
 


Opdracht 3

Alghisi construeerde een vesting met als grondvorm een regelmatige vijfhoek met geknikte courtines en met vijf bolwerken. In deze opdracht is de oppervlakte van de binnenste vijfhoek exact één morgen, dat wil zeggen precies 600 vierkante roeden (ongeveer 8520 m2). Bereken de grootte van alle relevante hoeken, waaronder:

  • de bolwerkshoek A
  • de grootte van de hoek L van de knik in de courtine

Bereken de lengte in roeden van:

  • face CW
  • courtine LV
  • flank VW

Eenvoudiger is de opdracht met gegeven KL = 20. Doorzetters rekenen ook de grootte van de defensiehoek en de lengte van de defensielijn uit.

In GeoGebra is een uitwerking gemaakt van deze opdracht.
Variaties zijn mogelijk. Geef bijvoorbeeld een andere lengte of een andere oppervlakte.

Uitwerking in GeoGebra

2
 

Adriaan Metius

Adriaan Adriaansz. Metius (Alkmaar, 1571 - Franeker, 1635) studeerde wiskunde in Franeker en Leiden. Zijn vader was Adriaen Anthonisz (1541-1620), vestingbouwkundige, cartograaf, wiskundige en burgemeester van Alkmaar. Adriaen Anthonisz werkte volgens de principes van het oud-Nederlands vestingstelsel. Zijn werkterrein was heel Noord-Nederland. In Alkmaar is in 1997 een standbeeld onthuld van Adriaen Anthonisz aan het werk met een hoekmeter.
Vanaf 1598 was Metius verbonden aan de Universiteit van Franeker als hoogleraar en gaf les in navigatieleer, landmeetkunde, militaire techniek en astronomie. Metius heeft een groot aantal boeken geschreven over wiskunde en toepassingen als astrolabes, kalenders, passers, of tabellen over zonsdeclinatie.

Wikipedia: Adriaen Anthonisz

Wikipedia: Adriaan Metius

 

top
 


Opdracht 4

Metius construeerde een vesting met vijf bolwerken met als grondvorm een regelmatige vijfhoek met zijde NO = 540 voeten, oftewel 45 roeden. De verhoudingen tussen de lengtes waren volgens zijn vader:

  • Keel : Zijde = AN : NO = 2 : 9
  • Flank : Zijde = BD : NO = 1 : 6

Metius gebruikt de formule dat de bolwerkshoek gelijk is aan twee derde van de omtrekshoek, maar hoogstens 90°.

Bereken:

  • de grootte van de omtrekshoek BOE
  • de grootte van de bolwerkshoek DHP
  • de lengte van de face DH
  • de lengte van de defensielijn AH

In GeoGebra is een uitwerking gemaakt van deze opdracht. Daar kun je variëren met andere veelhoeken.

aantal zijden:5678910
zijde NO:540648648648648648

 
Uitwerking in GeoGebra

2
 

Fortificatie ofte stercken-bouwinghe

Adriaan Metius schreef het boek, Fortificatie ofte stercken-bouwinghe, waarin hij zeer nauwkeurig uitlegde hoe zijn vader Adriaen Anthoniszn. ontwerpen voor vestingen berekende.

google books

 

Pieter van Schooten

Pieter van Schooten is de minder bekende halfbroer van Frans van Schooten Jr. Pieter van Schooten was van 1660 tot 1679 de derde uit de familie van Schooten die les gaf aan de Duytsche Mathematique, onder andere over vestingbouw. Ook heeft hij de steden Utrecht en Leiden geadviseerd over hun vestingwerken. Na de dood van Frans Jr in 1660 heeft Pieter zijn lessen aan de Duytsche Mathematicque overgenomen.

 

top
 


Opdracht 5

Pieter van Schooten construeerde een regelmatig vijfhoekige vesting met bolwerkafstand CI = 60 roeden. Hij berekende de bolwerkshoek met de formule een derde van de omtrekshoek plus 30°. De lengte van de hoofdlijn AC verhoudt zich tot de zijde AB als 1 : 3. De lengte van de keel AO verhoudt zich tot de zijde AB als 1 : 5.

Bereken de lengte van:

  • Face CE
  • Flank EO
  • Courtine DO
  • Hoofdlijn AC
  • Keel AO
  • Strijklijn CR
  • Defensielijn DC

Tip: bereken eerst alle relevante hoeken, bijvoorbeeld omtrekshoek, de bolwerkshoek en de strijkhoek.

In GeoGebra is een uitwerking gemaakt van deze opdracht. Daar kun je variëren met andere veelhoeken. Pieter houdt in zijn manuscript vast aan bolwerksafstand 60 roeden voor iedere veelhoek.

Uitwerking in GeoGebra

2
 

Manuscripten

De tekening hiernaast komt uit het Leidse handschrift BPL 1013. Van Pieter van Schooten zijn enkele manuscripten bewaard in de universiteitsbibliotheken van Groningen en Leiden.

Leiden: BPL 1993

 

Andreas Cellarius (1595-1665)

Van Cellarius is het boek "Architectura militaris" uitgegeven in 1645 bij Jodocum Jansonium in het Duits. Cellarius vermeldt ook de vertalingen van de begrippen in het Nederlands, Frans en Latijn. Cellarius studeerde in Heidelberg, huwde in 1625 in Amsterdam, en werd in 1637 rector van de Latijnse school in Hoorn. Hij overleed in 1665, vijf jaar na de uitgave van zijn prachtige "Harmonia Macrocosmica".

Architectvra Militaris, Oder Gründtliche Vnderweisung der heuttiges tages so wohl in Niederlandt als andern örttern gebräuchlichen Fortification Oder Vestungsbau

Flandrica: Harmonia Macrocosmica

 

top
 


Opdracht 6

Cellarius construeerde een regelmatige vijfhoek met courtine CG = 36, flank CI = 9, face IM = 24 roeden. De bolwerkhoek werd berekend met de formule twee derde van de omtrekshoek, maar hoogstens 90°.

Deze opdracht gaat over het gebruik van de tangensregel als alternatief voor de cosinusregel. Bereken met de tangensregel de grootte van de defensiehoek.

Bereken:

  • Lengte keel BC
  • Lengte strijklijn FM
  • Defensiehoek CGM met de tangensregel
  • Lengte defensielijn GM

In GeoGebra is een uitwerking gemaakt van deze opdracht. Daar kun je variëren met andere veelhoeken. Achter in zijn boek geeft Cellarius een aantal tabellen met afmetingen voor verschillende toepassingen. Soms is er sprake van vergrotingen. Zo toont hij tabellen voor bolwerksafstanden van 35 tot en met 70 roeden, oplopend met 5 roeden. De basisuitvoering heeft steeds courtine CG = 36 en face IM = 24 roeden, maar flank CI = 6 bij een vierhoek, oplopend tot 12 roeden bij een tienhoek.

 
Uitwerking in GeoGebra

1
 

Tangensregel

In iedere willekeurige driehoek ABC met hoeken α, β en γ en zijden a, b en c geldt de tangensregel:
 

a − b = tan(½(α − β))
a + b tan(½(α + β))

 

Wikipedia: bewijs tangensregel

 

 

top
 


Vergelijking van de opdrachten

In onderstaande tabel is een vergelijking van de opbouw van de besproken opdrachten. op deze webpagina staan er slechts vijf, maar in mijn onderzoek heb ik de aanpak van vijftien auteurs bestudeerd en ook een aantal manuscripten die mogelijk gediend hebben als college voorbereiding dan wel als collegedictaat of college aantekeningen. Deze manuscripten staan vol goniometrische berekeningen. In de besproken opdrachten zijn er twee verschillende formules voor de bolwerkshoek, maar het is verbazingwekkend hoeveel variatie wiskundigen wisten aan te brengen in deze formule.

 Nikolaus GoldmannAdriaan MetiusPieter van SchootenAndreas Cellarius
Bolwerkshoek formuleformuleformule
Zijde gegevenverhouding 
Afstand tussen bolwerkpunten  gegeven 
Courtinegegeven  gegeven
Flankgegevenverhouding gegeven
Keelgegevenverhoudingverhouding 
Face   gegeven
Hoofdlijn  verhouding 
Strijklijngegeven   
Defensielijn    

 

Tangensregel

In iedere willekeurige driehoek ABC met hoeken α, β en γ en zijden a, b en c geldt de tangensregel:
 

a − b = tan(½(α − β))
a + b tan(½(α + β))

 

Wikipedia: bewijs tangensregel

 

Terminologie verdedigingswerken

De Stichting Menno van Coehoorn heeft een overzichtelijk boek gepubliceerd over de terminologie van verdedigingswerken.

Publicaties Stichting Menno van Coehoorn

 

top
 


Terminologie

In de opdrachten worden een aantal begrippen gehanteerd:

  • Saillant is de voorste punt van het bolwerk
  • Courtine is de wal ingesloten tussen twee bolwerken
  • Flank is de zijkant van het bolwerk dat uitkijkt op de courtine
  • Flankhoek is de hoek tussen de courtine en de flank, vaak recht, soms stomp
  • Face is de voorkant van het bolwerk
  • Bolwerkshoek is de hoek tussen beide facen
  • Schouderhoek is de stompe hoek tussen flank en face
  • Keel is het verlengde van de courtine
    Keel plus courtine plus keel maken samen de zijde van de veelhoek
    (nb: voor niet-wiskundigen is de keel de lijn tussen de flankhoeken)
  • Keelhoek of omtrekshoek is de hoek tussen beide keellijnen of zijdes
  • Hoofdlijn is de lijn van de saillant naar de keelhoek
  • Strijklijn is de lijn van de saillant langs de face verlengd tot de courtine
  • Strijkhoek is de scherpe hoek tussen courtine en strijklijn
  • Defensielijn is de lijn van flankhoek tot saillant
  • Defensiehoek is de scherpe hoek tussen courtine en defensielijn

In de zeventiende eeuw waren de begrippen strijklijn en defensielijn gangbaar. Tegenwoordig spreekt men van strijkende defensielijn en bestendige defensielijn.

Stichting Menno van Coehoorn

3
 

 

Westra

Frans Westra heeft twee boeken geschreven over het werk en de positie van Nederlandse ingenieurs tijdens de tachtigjarige oorlog. Het eerste deel betreft het tijdvak 1573-1604 en is uitgegeven bij Canaletto. Het tweede deel betreft het tijdvak 1604-1648 en is uitgegeven door de Stichting Menno van Coehoorn.

Publicaties Stichting Menno van Coehoorn

top
 


Websites over Simon Stevin

  Ad Davidse over Simon Stevin website
  Digitaal Wetenschapshistorisch Centrum (KNAW) website
  De Bibliotheek voor de Nederlandse Letteren (DBNL) website
  Museum Plantin-Moretus: Simon Stevin, homo universalis website
  Flandrica.be: Vive l'Arithmétique website
  Steven Wepster: Simon Stevin (1548-1620) website
  Jan Hogendijk: literatuurlijst Simon Stevin (1548-1620) website
  Jan Hogendijk: literatuurlijst Ludolph van Ceulen (1540-1610) website
  Omnia Collections website
  Wikipedia: Simon Stevin website
  Wikipedia: Lijst van vaktermen in de vestingbouwkunde website
  website

top
 


Literatuurlijst bij Sterctenbovwing (primaire bronnen)

Ter voorbereiding op een publicatie over het boek Sterctenbovwing is de volgende primaire literatuur geraadpleegd. De lijst is op chronologische volgorde.

1527 Albrecht Dürer, Etliche Underricht zu Befestigung der Stett, Schloss und Flecken ..., Nurnberg, 1527 e-rara (1527)
1554 Giovanni Battista de' Zanchi, Del modo di fortificar le citta ..., Venetia, Plinio Pietrasanta 1554 Museo Galileo (1554)
1554 Nicolo Tartaglia, Quesiti et inventioni diverse ..., Venetia, Nicolo de Bascarini, 1554 Museo Galileo (1554)
1564 Girolamo Maggi, Della fortificatione delle città / di m. Girolamo Maggi, e del capitan Iacomo Castriotto ..., Venetia, Rutilio Borgominiero, 1564 Museo Galileo (1564)
1564 Girolamo Cataneo, Libro nuovo di fortificare, offendere, et difendere : con il modo di fare gli alloggiamenti campali / di Girolamo Cataneo ..., Brescia, Thomaso Bozzola, 1567 e-rara (1564)
Museo Galileo (1567)
1570 Galasso Alghisi da Carpi, Delle fortificationi de M. Galasso Alghisi da Carpi ..., Venetia, 1570 e-rara (1570)
Museo Galileo (1570)
1573 Hans van Schille, Form und Weis zu bauwen, Zimmern machen und auff zu richten, mit Blochheusern, Graben und Wallen und auch sonsten zu stercken allerley wehrliche Vestung, Schlosser, Burgen und Stedt ..., Antverpiae : apud Gerardum de Jode, 1580 e-rara (1580)
1575 Theti, Carlo, Titolo: Discorsi delle fortificationi, espugnationi et difese delle città et d'altri luoghi di Carlo Theti ..., Venetia, Bolognino Zaltiero, 1575
Venetia, Francesco de Franceschi senese, 1589
e-rara (1575)
Museo Galileo (1589)
1579 Aurelio Pasino, Discours sur plusieurs poincts de l'architecture de guerre, concernants les fortifications tant anciennes que modernes ..., Anvers, Christoff Plantin, 1579 google books
1588 Agostino Ramelli, Le diverse et artificiose machine del capitano Agostino Ramelli ..., Paris, 1588 google books
1589 Daniel Specklin, Architectura von Vestungen: wie die zu unsern zeiten mögen erbawen werden ..., Straatsburg, Bernhart Jobin, 1589 Gallica
Gallica
 google books 
e-rara
1594 Simon Stevin, Sterctenbovwing, Leiden, Francois van Ravelenghien, 1594 google books
KNAW
BSB-MDZ
1600 Jean Errard, Fortification réduite en art et démontrée ..., Paris, ... , 1600 Gallica (1600)
1609 Pompeo Giustiniano, Delle Gverre Di Fiandra Libri VI .... , Anverso, Trognesio, 1609 Herzog August Bibliothek Wolfenbütteler
1614 Samuel Marolois, Fortification ou Architectvre militaire tant offensive que defensive ..., Hagae Comitis, ex officina Henr Hondii, 1614 Umeå University Library
1615 Samuel Marolois, Fortification ou Architectvre militaire tant offensive que defensive ..., Hagae Comitis, ex officina Henr Hondii, 1615 e-rara
1615 Samuel Marolois, Fortification ou Architectvre militaire tant offensive que defensive ..., Hagae Comitis, ex officina Henr Hondii, 1615 (alleen illustraties) google books
1621 Didier Henrion, Briefve Instruction pour Construire les Fortifications pratiquess aux Pays Bas ..., Gallica
1622 Frans van Schooten Senior, , Fortificatie ... Universiteit Leiden: manuscript BPL 1013
1624 Simon Stevin, Sterckten-bouwingh, Amsterdam, Jan Jansz., 1624 google books
1626 Adriaan Metius, Fortificatie ofte stercken-bouwinghe, Franeker, Ulderick Balck, 1626 google books
1626 Samuel Marolois, Fortification ou Architectvre militaire tant offensive que defensive ..., google books
1627 Albert Girard, Fortification ou architecture militaire tant offensive que deffensive / supportée et dessignée par Samuel Marolois / reveue augmentée et corrigée par Albert Girard, Amsterdam, Jan Janszen, 1627 e-rara
1635 Adam Freitag, Architectura militaris nova et aucta oder Newe Vermehrte fortification von ..., Leiden, Elsevier, 1635 google books
? ?, Fortificatie defensive ende offensive, als mede 't rangeeren der Bataillen, geinventeert door den E. Professor Frans van Schooten ... , Tresoar: manuscript
? , Fortificatie ..., Lombaerde: manuscript
? , Architectura militaris ..., Koninklijke Bibliotheek: manuscript KW 1900 A 242
1643 Nikolaus Goldmann, La nouvelle fortification, Leiden, Elsevier, 1643 google books
e-rara
1645 Andreas Cellarius, Architectura militaris oder gründtliche Underweisung der heuttiges Tages so wohl in Niederlandt als andern Örttern gebräuchlichen Fortification oder Vestungsbau ..., Amsterdam, Iodocum Ianssonium, 1645 google books
e-rara
1654 Henrick Ruse, Versterckte Vesting, google books
1656 Pieter van Schooten, Handschrift 441,  RU Groningen 
? Pieter van Schooten, Handschrift BPL 1993, Universiteit Leiden: manuscript BPL1993
1658 Gerard Melder, Korte en klare instructie van regulare en irregulare fortificatie, met hare buyten-wercken ...: Met een korte weder-legginge der sustenu van de heer Henrick Ruse, over de hedendaagsche fortificatie. : By gevoegt 50 lustige questien, met hare solvtien, Utrecht, Jan van Waasberge, 1658 google books
1664 Gerard Melder, Korte en klare Instructie Van Regulare en Irregulare Fortificatie met hare Buyten-Wercken: te gebruycken Defensive en Offensive ... Met een korte weder-legginge der sustenu van de Heer Henrick Ruse, over de hedendaagsche Fortificatie ..., Utrecht, Jan van Waasberge, 1664 google books
1665 Jacques du Brueil, L'art universel des fortifications, françoises, hollandoises, espagnoles ..., Parijs, , 1665 google books
1672 Alain Manesson Mallet, Den Arbeid van Mars, Amsterdam, Iohannes Ianssonius van Waesberge, en Iacob van Meurs, 1672 google books
1677 Georg Fournier, Verhandeling van de fortificatie of vesting-bou: Genomen van de beroemste Steden en Sterckten onses tijd ..., Amsterdam, Johannes Janssonius van Waesberge en Soonen, 1677 google books
1668 Samuel Reyher, De Munitionibus, Kiel, Reumann, 1668 Uni Kiel
google books
1676 Abraham de Graaf, De geheele Mathesis of Wiskonst, herstelt in zyn natuurlyke gedaante, Amsterdam, 1676 google books
1682 Menno van Coehoorn, Versterckinge des vyf-hoeks, met alle sijne buyten-werken ..., Leeuwarden, Hendrik Rintjes, 1682 google books
1683 Menno van Coehoorn, Wederlegginge der Architectura militaris ..., Leeuwarden, Hendrik Rintjes, 1683 google books
1685 Menno van Coehoorn, Nieuwe vestingbouw, op een natte of lage horisont; welke op driederleye manieren getoont wordt in 't fortificeren der binnengroote van de Fransche royale ses-hoek ... als mede hoe men tegenwoordig langs een zee of rivier fortificeert ... Ider methode geataqueert en vergeleken ... met de Fransche of hedendaagsche vestingbouw, Leeuwarden, Hendrik Rintjes, 1685 google books
1686 Henrik Jaspar Nuis, Gebruik van het Rectangulum Catholicum, google books
1694 Abraham de Graaf, De geheele Mathesis of Wiskonst, herstelt in zyn natuurlyke gedaante, Amsterdam, Jaconus de Veer, 1694 UU
google books
1695 Alain Manesson Mallet, De werken van Mars, of De konst des oorlogs ..., Leiden, Pieter van der Aa, 1695 google books
1705 Bartholomeus Bruist, Beginzelen Der Vestingbouw, Amsterdam, Nicolaas ten Hooorn, 1705 google books
1730 Bartholomeus Bruist, Beginzelen Der Vestingbouw, Leiden, Hendrik en Daniel van Damme, 1730 google books

top
 


Literatuurlijst bij Sterctenbovwing (secundaire bronnen)

Ter voorbereiding op een publicatie over het boek Sterctenbovwing is de volgende secundaire literatuur geraadpleegd. De lijst is op alfabetische volgorde.

 

Jan van den Broek, Voor God en mijn koning, Het verslag van kolonel Francisco Verdugo, Assen, Van Gorcum, 2009 google books
Eduard Jan Dijksterhuis, Simon Stevin, Den Haag, Martinus Nijhoff, 1943
Christopher Duffy, Siege Warfare, Londen, Routledge, 1979 google books
Jeroen Goudeau, Nicolaus Goldmann en de wiskundige architectuurwetenschap, Groningen, Philip Elgers, 2005 Philip Elgers
Charles van den Heuvel, Papiere Bolwercken: De introductie van de Italiaanse stede- en vestingbouw in de Nederlanden(1540-1609) en het gebruik van tekeningen, Alphen aan den Rijn, Canaletto, 1991
Charles van den Heuvel, De versterkte stad., In De Stad, voor Taverne Rotterdam Rotterdam, 010Publishers, 2006. (pp 23-36) Academia
Charles van den Heuvel, De vesting als mathematisch en cultureel kennissysteem. Het onderwijs in de vestingbouw aan hovelingen, kooplui en ambachtslieden in de Hollandse Republiek (17de eeuw), In: Scientiarum Historia, 32 (2006) pp 99-117 2007
Frederic Hoefer, Aantekeningen omtrent de vesting Harderwijk, In: Gelre, Bijdragen en Mededelingen, 1924 [jrg 27]
Kamps, van Kerkum, de ZeeTerminologie verdedigingswerken, Utrecht, Stichting Menno van Coehoorn, 1999 Stichting Menno van Coehoorn
Daan Lavies, Onbegrepen Hoeken In De Nederlanden En Overzee, De Zoektocht Naar Het Ideaal In Zestiende-Eeuwse Vestingbouw ,
Piet Lombaerde, Bastions zonder Grenzen , Gorredijk, Sterck en De Vreese, 2020
Geoffrey Parker, The Dutch Revolt, London, Penguin Books, 1977 google books
Geoffrey Parker, The Military Revolution, Cambridge, Cambridge University Press, 1988 google books
Frans Westra, Nederlandse ingenieurs en de fortificatiewerken in het eerste tijdperk van de Tachtigjarige Oorlog, 1573-1604, Alphen aan de Rijn, Canaletto, 1992 google books
Frans Westra, Bouwers van Sterke Werken, Nederlandse ingenieurs in het tweede tijdperk van de Tachtigjarige Oorlog, 1605-1648, Utrecht, Stichting Menno van Coehoorn, 2010 Stichting Menno van Coehoorn

top