Gemeenschappelijk is dat alle formuleringen gebaseerd zijn op de wet die stelt dat de hoek van inval gelijk moet zijn aan de hoek van uitval.

De achterliggende wiskunde is eeuwenoud. Een auteur is bijvoorbeeld Ptolemaeus (±100 − ±160) die er over schrijft in zijn werk Optica. Een andere auteur is Ibn Al Haytham (965−1040), ook bekend in Europa onder de naam Alhazen. In de zeventiende eeuw boog Christiaan Huygens (1629−1695) zich over dit probleem. Hun wiskunde is voor de meeste middelbare scholieren te hoog gegrepen.

Tekeninstrumenten

In het Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam is een tekeninstrument tentoongesteld om dit probleem op een praktische manier op te lossen. Volgens de catalogus liet Marcolongo (1862−1943) zich inspireren door een tekening van Leonardo da Vinci (1452−1519). De tekst en de bijbehorende beschrijving van da Vinci staat in de Codex Atlanticus. Zorgvuldige studie wijst uit dat het tekeninstrument van Marcolongo lijkt op dat van Leonardo da Vinci, maar er zijn ook wezenlijke verschillen.

Het tekeninstrument dat Marcolongo ontwikkelde is voor een breed publiek toegankelijk en geschikt voor een praktische les waarin leerlingen van karton zelf het instrument maken en op zoek gaan naar weerspiegelpunten. Een animatie in Geogebra staat op deze webpagina.

animatie Marcolongo op deze webpagina

Het tekeninstrument dat Leonardo da Vinci bedacht is ook geschikt voor een praktische les. Een animatie in Geogebra staat ook op deze webpagina.

animatie Leonardo Da Vinci op deze webpagina

Experimenten van Ibn al-Haytham

Ibn al-Haytham was een origineel denker, een experimentator en een knap wiskundige. In zijn werk beschrijft hij nauwgezet de instrumenten die hij bedacht voor zijn experimenten. In de zestiende eeuw verscheen een vertaling in het Latijn. Mensen als Snel, Descartes, Barrow, Huygens, Sluse en Newton schreven over optische problemen als weerkaatsing, lichtbreking en regenbogen. Zij gaven het probleem van de weerkaatsing in cirkelvormige spiegels de naam van Alhazen. Tijdens de vorige eeuw hebben geleerden als Nazif, Sabra, Schramm en Smith intensief zijn werken bestudeerd en er uitgebreid over gepubliceerd. Musea hebben op basis van hun bevindingen replica's gemaakt. Het Istanbul Museum of the History of Science and Technology in Islam heeft ook een video gemaakt.

YouTube: Apparatus for the Observation of the Reflection of Light

Animatie Marcolongo

Gebruik de sleper om de verschillende spiegels te onderzoeken: vlak, bolle cirkel, holle cirkel, bolle ellips of holle ellips. Je kunt zelf kiezen waar het oog en de lichtbron komen te staan ten opzichte van de spiegel. Ook kun je de vorm van de spiegel bepalen. De kijkrichting kun je instellen met de sleper op de cirkel om het oog. Met de buttons kun je er voor kiezen om het tekeninstrument zichtbaar te maken of de meetkundige plaats van de weerspiegelpunten te tonen.

Start animatie

Tekst Leonardo da Vinci

Bewijs Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci geeft in zijn tekst een kort bewijs. Hij stelt dat de betreffende hoeken gelijk zijn.

Wanneer punt O gevonden is, namelijk op de spiegelrand en punt S ligt op de cirkel om punt C, het midden van de spiegelcirkel, door punt B, het oog, dan is vierhoek CBDS een vlieger omdat lijnstuk BD even lang is als lijnstuk DS en lijnstuk CB even lang is als lijnstuk CS, uit de aard der constructie. Eigenschap van een vlieger is dat diagonaal OD een deelijn is met gelijke hoeken BOD en SOD. Lijn COD gaat door het middelpunt van de spiegelcirkel en staat dus loodrecht op de raaklijn aan die cirkel. Punt A ligt op zijde OS. Daarom zijn de hoeken die lijnen OA en OB maken met de raaklijn ook aan elkaar gelijk. Conclusie, wanneer het werkstuk is volbracht, dan is de hoek van inval gelijk aan de hoek van uitval. Het oog in punt B ziet dan in punt O het beeld van de lichtbron in punt A.

Animatie Leonardo da Vinci

Hieronder staat een afbeelding van de animatie met Geogebra. Stapsgewijs wordt uitgelegd hoe alle lijnen, cirkels en krommen getekend kunnen worden.

Start animatie

Literatuur