www.fransvanschooten.nl

Meetkundige Plaats van
Van Schooten

Onderstaande meetkundige plaats past goed bij de stelling die op naam van Frans van Schooten Jr is gezet.

De meetkundige plaats van de punten R van gelijkzijdige driehoek BRQ met punt Q op de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC is een cirkel.

Start Geogebra: onderzoek de Stelling van Van Schooten


Bewijs Meetkundige Plaats

Een meetkundige figuur heet meetkundige plaats van punten met een bepaalde eigenschap indien:
† alle punten van de figuur die bedoelde eigenschap hebben;
† alle punten met de eigenschap tot de figuur behoren.

Een bewijs van een meetkundige plaats bestaat uit twee deelbewijzen, twee kanten op. Schrijf die deelbewijzen als implicatie en geef voor beide het bewijs van die implicatie.

Achtereenvolgens:

  1. Alle punten R van gelijkzijdige driehoek BQR met punt Q op de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC liggen op één cirkel.
  2. Voor ieder punt R op de betreffende cirkel (door de punten B, Z en C) is er een gelijkzijdige driehoek BQR met punt Q op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

top



 

Te bewijzen (1):

Alle punten R van gelijkzijdige driehoek BQR met punt Q op de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC liggen op één cirkel.

Gegeven is:

  • gelijkzijdige driehoek ABC met zwaartepunt Z,
  • gelijkzijdige driehoek BQR,
  • omgeschreven cirkel met punt Q.

Alle bewijzen beginnen met de volgende stappen

  1. Omdat driehoek ABC gelijkzijdig is, is zwaartepunt Z, het snijpunt van de drie zwaartelijnen, tevens het snijpunt van de middelloodlijnen, de hoogtelijnen en de deellijnen (eigenschap).
  2. In driehoek BCZ zijn de hoeken ∠BCZ = ∠CBZ = 30°, namelijk de helft van de hoeken ∠BCA = ∠CBA = 60°, en dus is ∠BZC = 120°.

Bewijs voor het geval dat punt Q ligt op cirkelboog BC (dwz. tegenover punt A):

  1. Omdat ∠BZC = 120° liggen alle punten R met ∠BRC = 60° volgens de stelling van de koordenvierhoek op de cirkel die door de punten B, Z en C gaat.
  2. Voor ieder punt R is er een bijbehorend punt Q dat op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC ligt en op lijnstuk CR.
  3. Omdat punt Q op de omgeschreven cirkel ligt is vierhoek BACQ een koordenvierhoek en omdat ∠BAC = 60°, daarom is ∠BQC = 120°, want samen 180°.
  4. En dus is ∠BQR = 60°.
  5. Driehoek BQR is gelijkzijdig omdat ∠BRQ = ∠BQR = 60°.
  6. Conclusie: Alle punten R van gelijkzijdige driehoek BQR met punt Q op cirkelboog BC de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC liggen op één cirkel door de punten B, Z en C.

Bewijs voor het geval dat punt Q ligt op cirkelboog AC:

  1. BQR = 60° want driehoek BQR is gelijkzijdig.
  2. BQC = ∠BAC = 60° (constante hoek op koorde BC), dus ligt punt C op zijde QR.
  3. Vierhoek BZCR is een koordenvierhoek omdat de overstaande hoeken ∠BZC + ∠CRB = 120° + 60° = 180°.
  4. Conclusie: Alle punten R van gelijkzijdige driehoek BQR met punt Q op cirkelboog AC de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC liggen op één cirkel door de punten B, Z en C.

Bewijs voor het geval dat punt Q ligt op cirkelboog AB:

  1. Driehoek BQR is gelijkzijdig, dus ∠BQR = 60°.
  2. BQR = ∠BQC = ∠BAC = 60° (constante hoek op koorde BC), dus ligt punt C in het verlengde van zijde QR.
  3. BRC = 120° en constant op koorde BC, dus ligt punt R op cirkelboog BC.
  4. Omdat ∠BRC = ∠BZC = 120° ligt punt R op cirkelboog BZC.
  5. Conclusie: Alle punten R van gelijkzijdige driehoek BQR met punt Q op cirkelboog AB de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC liggen op één cirkel door de punten B, Z en C.

Slotconclusie is dat de meetkundige plaats van punt R de cirkel door de punten B, Z en C is.

top



 

Te bewijzen (2):

Hieronder staat het tweede deel van het bewijs voor de meetkundige plaats: voor ieder punt R op de betreffende cirkel (door de punten B, Z en C) is er een gelijkzijdige driehoek BQR met punt Q op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Gegeven is:

  • gelijkzijdige driehoek ABC met zwaartepunt Z,
  • punt R op cirkel door de punten C, Z en B,
  • gelijkzijdige driehoek BRQ.

Alle bewijzen beginnen met de volgende stappen:

  1. Omdat driehoek ABC gelijkzijdig is, is zwaartepunt Z, het snijpunt van de drie zwaartelijnen, tevens het snijpunt van de middelloodlijnen, de hoogtelijnen en de deellijnen (eigenschap).
  2. In driehoek BCZ zijn de hoeken ∠BCZ = ∠CBZ = 30°, namelijk de helft van de hoeken ∠BCA = ∠CBA = 60°, en dus is ∠BZC = 120°.
  3. Vierhoek CZBR is een koordenvierhoek omdat punt R op cirkel door de punten C, Z en B ligt, dus is ∠BRC = 60°.
  4. Omdat ook ∠BRQ = ∠BRC = 60° ligt punt Q op lijn RC.

Bewijs voor het geval dat punt Q ligt op cirkelboog BC:

  1. Omdat driehoek BRQ gelijkzijdig is, daarom is ∠RQB = 60° en dus is ∠BQC = 120°.
  2. Omdat driehoek ABC gelijkzijdig is, is ∠BAC = 60°.
  3. Omdat de overstaande hoeken samen ∠BQC + ∠BAC = 180° zijn, daarom is vierhoek BACQ een koordenvierhoek met punten B, A, C en Q op één cirkel.
  4. Conclusie: voor ieder punt R op cirkel door de punten B, Z en C ligt punt Q op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Bewijs voor het geval dat punt Q ligt op cirkelboog AC of AB:

  1. Omdat ∠CQB constant is op koorde BC ligt punt Q op een cirkelboog door de punten B en C.
  2. Omdat ∠CAB constant is op koorde BC en omdat ∠CAB = ∠CQB = 60°, daarom ligt punt A op dezelfde cirkelboog door de punten B en C, namelijk de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.
  3. Conclusie: voor ieder punt R op de cirkel door C, Z en B, ligt punt Q op de omgeschreven cirkel van driehoek ABC.

Conclusie

Nu beide bewijzen gegeven zijn, is het bewijs van de meetkundige plaats compleet. De meetkundige plaats van de punten R van gelijkzijdige driehoek BRQ met punt Q op de omgeschreven cirkel van gelijkzijdige driehoek ABC is een cirkel.

top



 

Wat is een stelling?

Een stelling is een bewering die aantoonbaar correct is. In de meetkunde is dat een redenering in de traditie van Euclides.