www.fransvanschooten.nl

Stelling van Van Schooten: FM + FN = FL


Uitwerking Stelling van Van Schooten (hulpdriehoek)


 
  • Gegeven is:
    • LM = MN = LN.
    • DF = FN.
    • punt F is een punt op de omgeschreven cirkel om ∆LMN.
    • punt O is snijpunt van lijn MN en lijn FL.
  1. Bereken ∠MFN

    Antwoord: Omdat ∆LMN een gelijkzijdige driehoek is, heeft het drie even grote hoeken, daarom ∠LMN = ⅓×180° = 60° want 32 de hoekensom is 180°.
    Vierhoek LMFN is een koordenvierhoek omdat de vier punten op de cirkel liggen. Volgens de stelling van de koordenvierhoek III-22 zijn overstaande hoeken samen 180°. Omdat ∠MLN = 60°, daarom ∠MFN = 180° − 60° = 120°.
  2. Bereken ∠DFN

    Antwoord:DFN is samen met ∠MFN een gestrekte hoek, dat wil zeggen samen 180° 13. Dus ∠DFN + ∠MFN = 180°. Omdat ∠MFN = 120° (stap 1), daarom ∠DFN = 180° − 120° = 60°.
  3. Toon aan dat ∆DFN een gelijkzijdige driehoek is en dat ∠DNF = 60°.

    Antwoord: Omdat ∆DFN twee gelijke zijden heeft, want DF = FN (constructie), daarom is ∆DFN gelijkbenig (maar nog niet gelijkzijdig). Dus 5 zijn de basishoeken even groot. De tophoek is ∠DFN = 60° (stap 2). Samen zijn de drie hoeken 180° 32. De basishoeken zijn dus samen: ∠FDN + ∠DNF = 180° − 60° = 120°. Daarom ∠FDN = ∠DNF = 60°. Een driehoek met drie hoeken van 60° is per definitie een gelijkzijdige driehoek. Dus is ∆DFN gelijkzijdig.
  4. Toon aan dat ∠FNL = ∠DNM.

    Antwoord: Zowel ∠FNL = ∠LNM + ∠MNF = 60° + ∠MNF, als ∠DNM = ∠DNF + ∠MNF = 60° + ∠MNF, want ∠DNF = 60° (stap 3). Daarom ∠FNL = ∠DNM.
  5. Toon aan dat ∆FLN een vergroting is van ∆DNM

    Antwoord: Twee paar overeen­komstige hoeken zijn even groot: ∠FNL = ∠DNM (stap 4) en ∠LFN = ∠LMN (constante hoek III-21). Daarom is ook het derde paar overeen­komstige hoeken even groot: ∠LFN = ∠MDN = 60°. De zijde tussen die hoeken is ook even lang: MN = LN (gegeven). Daarom zijn de driehoeken een vergroting van elkaar met factor één. Gevolg 26 is dat FL = DM.

    Antwoord 2: Overeenkomstige hoeken zijn even groot, ∠FNL = ∠DNM (stap 4), en de overeen­komstige aanliggende zijden zijn even lang: FN = DN (gegeven) en MN = LN (gegeven). Daarom zijn de driehoeken een vergroting van elkaar met factor één. Gevolg 26 is dat FL = DM.
  6. Bewijs dat FM + FN = FL.

    Antwoord: Omdat FL = DM (stap 5) en omdat DM = FM + DF, daarom is FL = FM + DF. Omdat FN = DF (gegeven), daarom is FL = FM + FN. Daarmee is het gevraagde bewezen: FM + FN = FL.

 
Applet


 
 

 
 

 
 

top
 


Proposities van Euclides Boek I

  1. (Euclides I-5)
  2. (Euclides I-13)
  3. (Euclides I-26)
  4. (Euclides I-32)

Proposities van Euclides Boek III

  1. (Euclides III-21)
  2. (Euclides III-22)

top