www.fransvanschooten.nl

Stelling van Van Schooten: FM + FN = FL


Uitwerking Stelling van Van Schooten (verhoudingen)


 
  • Gegeven is:
    • LM = MN = LN.
    • DF = FN.
    • punt F is een punt op de omgeschreven cirkel om ∆LMN.
    • punt O is snijpunt van lijn MN en lijn FL.
  1. Bereken ∠LFN.

    Antwoord: Omdat ∆LMN een gelijkzijdige driehoek is, heeft het drie even grote hoeken, daarom ∠LMN = ⅓×180° = 60° want 32 de hoekensom is 180°.
    Volgens de stelling van de constante hoek III-21 is ∠LFN = ∠LMN en daarom ∠LFN = 60°
  2. Toon aan dat ∆FLN een vergroting is van ∆LNO en dat dus ∠LON = ∠FNL.

    Antwoord: Beide driehoeken hebben hoek L gemeenschappelijk. Omdat ∠LNM = 60° (constructie) en ook ∠LFN = 60° (stap 1) is dit paar overeen­komstige hoeken even groot. Daarom is ook het derde paar hoeken even groot: ∠LON = ∠FNL = 60° want 32 de hoekensom is 180°. Dus zijn de driehoeken per definitie gelijk­vormig. Daarom zijn ze een vergroting van elkaar.
  3. Bereken ∠LFM.

    Antwoord: Vierhoek LMFN is een koordenvierhoek omdat de vier punten op de cirkel liggen. Volgens de stelling van de koordenvierhoek III-22 zijn overstaande hoeken samen 180°. Daarom: ∠L + ∠LFM + ∠LFN = 180° Omdat ∠L = 60° (constructie) en ∠LFN = 60° (stap 1) is ook ∠LFM = 60°.
  4. Toon aan dat ∆FLM een vergroting is van ∆LMO.
    Antwoord: Beide driehoeken hebben hoek L gemeenschappelijk. Omdat ∠LMN = 60° (stap 1) en ∠LFM = 60° (stap 3), daarom is ook het tweede paar overeen­komstige hoeken even groot. Dus is ook het derde paar hoeken even groot: ∠FML = ∠LOM want 32 de hoekensom is 180°. Dus zijn de driehoeken gelijk­vormig. Daarom zijn ze een vergroting van elkaar.
  5. Leg uit waarom ∆LNO een vergroting is van ∆FMO en dat dus ∠FMO = ∠NLO.
    Antwoord: De overstaande hoeken in punt O zijn 15 even groot. Omdat ∠LNO = 60° en omdat ∠MFO = ∠LFM = 60° (stap 3), daarom is dit het tweede paar overeen­komstige hoeken. Dus is ook het derde paar hoeken even groot: ∠FMO = ∠NLO, want 32 de hoekensom is 180°. Daarom zijn de driehoeken gelijk­vormig. Dus zijn ze een vergroting van elkaar.
  6. Toon aan dat de factor waarmee ∆FMO vermenigvuldigd moet worden om ∆LNO te krijgen, even groot is als die waarmee ∆LMO vermenigvuldigd moet worden om ∆FLM te krijgen.

    Antwoord: Als driehoeken gelijk­vormig zijn, dan VI-4 zijn alle zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd. Zowel ∆LMO is gelijk­vormig met ∆FLM (stap 4) als ∆FMO met ∆LNO (stap 5).
    Hieronder staat de verhoudingstabel met de zijden van de driehoeken:
     
      zijden van ∆LNO:   LN = NO = LO   zijden van ∆LMO:   LM = MO = LO  
      zijden van ∆LFN: FL FN LN   zijden van ∆LFM: FL FM LM


    Omdat in beide tabellen de teller LO is en de noemers LM = LN, daarom is de factor gelijk.

  7. Leg uit waarom  MO + NO = LM  
    FM + FN FM + FN

    Antwoord: Als twee breuken gelijk zijn, dan is het quotiënt van de som van de tellers en de som van de noemers even groot. Bovendien MO + NO = MN (optelling van twee lijnstukken) en MN = LM (gelijkzijdigheid).
     
    Omdat LM = MO = NO = MO + NO = MN = LM  
    FL FM FN FM + FN FM + FN FM + FN
  8. Bewijs dat FM + FN = FL.

    Antwoord: Als de breuken aan elkaar gelijk zijn en als de tellers aan elkaar gelijk zijn, dan moeten ook de noemers aan elkaar gelijk zijn.
    Omdat LM = MO + NO = MN (stap 7)
    FL FM + FN FM + FN
    en omdat MN + NO = MN = LM (gelijkzijdige driehoek) geldt nu dat FM + FN = FL. Daarmee is het gevraagde bewezen.

 
Applet


 
 

 
 

top
 


Proposities van Euclides Boek I

  1. (Euclides I-5)
  2. Als twee lijnen elkaar snijden, dan zijn de hoek en de neven­hoek samen een gestrekte hoek, dat wil zeggen, samen 180. (Euclides I-13)
  3. (Euclides I-15)
  4. (Euclides I-32)

Proposities van Euclides Boek III

  1. (Euclides III-21)
  2. (Euclides III-22)

Proposities van Euclides Boek VI

  1. (Euclides VI-4)

top