www.fransvanschooten.nl

Introductie

Op deze bladzijde begint het eerste deel van het tweede boek van Van Schooten over de 'Ontbinding van de Simpele Meetkundige werkstukken'. Hier begint ook de website.

Toelichting op deze bladzijde
Toelichting bij de opgaven


 

Van Schooten is een wiskundige. Hij doet niet aan truucjes. Hij wil rationele, logische, verantwoorde wiskunde. Dus begint hij met drie 'begeerten' als uitgangspunten voor zijn 'Wiskunde van de Simpele Meetkundige werkstukken'. Op bladzijde 119 heeft hij uitgelegd dat er verschillende klassen van meetkunde zijn en op deze bladzijde begint hij aan een onderklasse van de vlakke meetkunde: de vlakke meetkunde van rechte lijnen zonder passer en zonder liniaal met maataanduiding.

Begeerten

Van Schooten herhaalt hier drie fundamentele aannames voor zijn meetkunde in het platte vlak.

  1. Je kan altijd een rechte lijn trekken door twee punten.
  2. Je kan een lijnstuk altijd langer maken, oneindig lang, zowel de ene kant op als de andere kant.
  3. Je kan op iedere plaats altijd een lijnstuk trekken dat precies even lang is als een ander lijnstuk.

Toelichting

De moderne vertaling van het woord 'begeerten' is aannames. Met een duur woord noemen we het 'postulaten'. Op het eerste gezicht zijn het vanzelfsprekende waarheden. Ter wille van de rationele, logische, wiskundige zuiverheid begint Van Schooten ermee, want niets is vanzelfsprekend waar. Voor Van Schooten is iets pas een waarheid als het logisch voortbouwd op andere waarheden en anders op aannames.

Honderden jaren na hem zijn andere meetkundes uitgevonden, bijvoorbeeld die op een bol of op een ei of op de wand van een oneindig diepe trechter, of op een projectie daarvan op een plat vlak. Daar geleden hele andere regels en die leveren heel andere resultaten op. Zet twee stippen op een wereldbol (of een voetbal). Wat is een rechte lijn op een bol? Sta verrast hoeveel rechte lijnen er zijn tussen die twee punten!

Van d'ontbinding der simpele meet-konstige werck-stucken.

In dit deel van het tweede boek worden acht werkstukken behandeld. In de tabel worden ze allemaal genoemd. De linkerkolom verwijst naar de toelichting op deze webpagina. De rechterkolom verwijst naar de webpagina's

Deel een hoek in twee gelijke hoeken bladzijde 122
Deel een lijn in twee gelijke stukken bladzijde 126
Lijn evenwijdig aan andere lijn bladzijde 128
Lijn loodrecht op andere lijn bladzijde 133
Lijn loodrecht op andere lijn door punt op die lijn bladzijde 135
Een hoek maken net zo groot als een andere hoek bladzijde 135
Een bladzijde 136
Een gelijkzijdige driehoek maken bladzijde 137
Een bladzijde 137
Een bladzijde 138

Commentaar op de werkstukken

In het voorwoord op bladzijde 117 verzucht Frans Van Schooten dat er in de praktijk van de landmeter en de schilder / kunstenaar zo anders gewerkt wordt dan Euclides ons leert!

Als men een hoek in twee wil delen, pakt men een instrument: een gradenboog, een Astrolabium. Men meet de hoeken op, deelt het getal door twee en meet met het nieuwe getal de halve hoek op.

Voor hem is dat geen meetkunde, maar rekenen! Op bladzijde 118 concludeert hij dat de drie basis principes van Euclides goed zijn voor constructies op papier, maar niet handig in het veld. Het werken met cirkels kan in de praktijk beter vervangen worden door een ander principe: we kunnen overal een lijnstuk maken dat even lang is als een ander lijnstuk.

Deel een hoek in twee gelijke hoeken

Van Schooten stelt voor om de gradenboog thuis te laten. Zo ontstaan opgaven waarbij hij slim een paar lijnen trekt en laat zien dat de hoek in twee gedeeld is. Fascinerend is dat hij dit resultaat bereikt met ogenschijnlijk simpele constructies. In zijn uitleg verwijst hij regelmatig naar (steeds andere) stellingen van Euclides. Na afloop heeft de lezer heel wat van de meetkunde gezien.

Deel een hoek in twee gelijke hoeken (bladzijde 122)

Deel een lijn in twee gelijke stukken

Het tweede werkstuk gaat over het halveren van een lijnstuk. De uitwerkingen zijn knap bedacht en er komt heel veel wiskunde bij kijken. Sommige uitwerkingen lijken op een gordiaanse knoop. Van Schooten legt ons geduldig uit hoe we de knoop moeten leggen en hoe we de knoop kunnen ontwarren. Typerend voor de gordiaanse knoop is dat de knoop bekend gebleven is door de manier waarop hij opgelost is. Het verhaal gaat dat Alexander de Grote zich weinig gelegen liet aan de knoop en de spelregels. Met een zwaardslag heeft hij de knoop doorgehakt. Vooral dat doorhakken spreekt tot de verbeelding. Zo zal het ook de meeste leerlingen vergaan. Ze zullen niet begrijpen wat er zo moeilijk is aan het halveren van een lijnstuk. Je pakt een lang stuk touw, vouwt het dubbel en dan heb je de halve lengte. Zo simpel is het. Van Schooten elimineert het probleem van de passer, staat ons toe om overal een evengrote lengte af te meten, zegt ons dubbele lengtes af te meten, maar doet moeilijk over de halve lengte. Speciaal bij dit werkstuk zien we dat het niet om de probleemstelling (halveer een lijnstuk) gaat, maar om het toepassen van wiskunde. De leerling die bereid is om de omweg te maken, wordt beloond met een aantal bijzondere constructies die hem zullen verbazen dat ze de gevraagde halve lengtes opleveren.

Deel een lijn in twee gelijke stukken (bladzijde 126)

Lijn evenwijdig aan andere lijn

Van Schooten bedenkt vier originele manieren om een evenwijdige lijn te trekken. De eerste twee en de laatste blinken uit in eenvoud. Hier laat hij zien dat we uitstekend zonder passer kunnen werken.

Het derde voorstel oogt ook simpel, maar daar verlangt hij van ons om een punt halverwege een lijn te bepalen. Bij het vorige commentaar hebben we gezien dat dat een hele omweg is. Wiskundig gezien is de verwijzing naar het vorige werkstuk heel efficiënt omdat verwezen wordt naar iets dat al bewezen is, maar in de praktijk levert de korte verwijzing heel veel werk op.

Lijn evenwijdig aan andere lijn (bladzijde 128)

Lijn loodrecht op andere lijn

Van Schooten presenteert twee originele manieren om een loodlijn te trekken. De eerste is verbluffend eenvoudig. De tweede is meer constructiewerk, maar is didactisch eenvoudiger uit te leggen. Nadeel is dat de loodlijn op een willekeurige plaats terecht komt. Bij het vijfde werkstuk zien we hoeveel moeite het Van Schooten kost om de loodlijn door een gegeven punt te laten gaan.

Lijn loodrecht op andere lijn (bladzijde 133)

Lijn loodrecht op andere lijn door punt op die lijn

In een paar regels suggereert Van Schooten dat we een loodlijn kunnen trekken die door een bepaald punt gaat. Hij grijpt terug op de vorige constructie om een loodlijn te tekenen en op de constructie om een evenwijdige lijn te trekken door een punt. Wiskundig gezien is dit helemaal correct. Van beide is bewezen dat de constructie helemaal waar is.

De leerling die de docent vraagt om de combinatie even voor te doen, zal de docent flink aan het werk zetten, want beide constructies vragen het nodige meet- en tekenwerk. Conclusie is dat deze constructie geen serieus alternatief is voor de klassieke constructie met passer of gradenboog. Uitdaging is om een snelle constructie te vinden die het gevraagde resultaat oplevert.

Geheel in zijn stijl komen we met een alternatief zoals hij dat zelf had kunnen presenteren. We zullen nooit weten of hij deze schets ooit aan zijn leerlingen heeft voorgelegd.

Lijn loodrecht op andere lijn door punt op die lijn (bladzijde 135)

Een hoek maken net zo groot als een andere hoek

Net als bij het vorige werkstuk, oogt het voorstel wiskundig erg eenvoudig, door de korte verwijzing naar eerdere werkstukken. Praktische bezwaar is de lastige constructie van een loodlijn door een punt. Daarom is dit voorstel niet uitgewerkt als leerlingenopgave.

Geheel in zijn stijl komen we met een alternatief zoals hij dat zelf had kunnen presenteren. We zullen nooit weten of hij deze schets ooit aan zijn leerlingen heeft voorgelegd.

Een hoek maken net zo groot als een andere hoek (bladzijde 135)

Een gelijkzijdige driehoek maken