www.fransvanschooten.nl


 

I Werckstuck

Deel een hoek in twee gelijke hoeken.iv


Inleiding

Dit is het eerste werkstuk dat Frans van Schooten Junior zijn lezers voorlegde. Doel is om een hoek in twee gelijke, dat wil zeggen twee even grote, hoeken te delen. In de constructie en het bijbehorende bewijs, verwees Van Schooten herhaaldelijk naar het boek "De Elementen" van Euclides. Het lijkt erop dat hij dit werkstuk aangreep om zoveel mogelijk van Euclides te behandelen. In "De Elementen" van Euclides is dit de vierde constructie iv.

Van Schooten gaf op deze bladzijde een eerste constructie, op bladzijde 123 nog twee constructies en op bladzijde 125 een vierde constructie.
 


Opdracht

Gegeven zijn drie punten A, B en C. Gevraagd wordt om hoek BAC in twee even grote hoeken te delen.
Frans van Schooten construeerde punt G en bewees dat lijn AG de deellijn van hoek A was.


top


Applets

Frans van Schooten maakte onderscheid tussen de situatie waarin punt D op lijnstuk AB ligt, en die waarin punt D in het verlengde van lijnstuk AB ligt. De bovenste applet is zodanig gemaakt dat punt D altijd op lijnstuk AB ligt. De onderste applet is zo gemaakt dat punt D op lijn AB ligt in het verlengde van lijnstuk AB. Voor de constructie maakt het niet uit: de punten zijn dezelfde, maar in het wiskundig bewijs is er een klein verschil.
Van Schooten vond hulplijn BF overbodig. In de leerlingen­opdracht is hulplijn BF toegevoegd omdat ∆ABF gelijk benig is met tophoek in punt A en twee gelijke basishoeken in de punten B en F. Daarom is deze hulplijn aan de tekening toegevoegd.


 

 


top
 


Bewijs

Frans van Schooten gaf een klassiek meetkundig bewijs dat gebaseerd was op de axioma's, algemene inzichten, definities en proposities van Euclides. Met een zijstapje naar de algemene opmerkingen 1 2 over som en verschil van lijnstukken bewees Frans van Schooten dat AB = AF omdat in de eerste figuur AB = AD + DB en AF = AE + EF. In de tweede figuur is AB = AD − DB en AF = AE − EF.
Na deze stap zocht van Schooten naar gelijke driehoeken met even lange zijden en even grote hoeken. De driehoeken ABE en AFD hebben een overeen­komstige hoek in punt A en hebben overeen­komstige zijden want AB = AF en AD = AE. Volgens de 4de propositie c zijn het dus gelijke driehoeken en daarom zijn de hoeken even groot: ∠ABE = ∠AFD en ook ∠AEB = ∠ADF. Lijn BE snijdt lijn AF. Daarom is volgens de 13de propositie dAEB + ∠BEF = 180°. Evenzo snijdt lijn DF lijn AB en dus is volgens dezelfde propositie ∠ADF + ∠BDF = 180°. Gevolg is dat volgens het 3de algemene inzicht e dat ∠BDF = ∠FEB. Volgens de 26ste propositie h is DG = GE omdat de driehoeken BDG en FEG overeen­komstige hoeken hebben die even groot zijn (∠B = ∠F en ∠D = ∠E) en overeen­komstige zijden die even lang zijn (BD = EF). Tot slot zijn de driehoeken DAG en EAG aan elkaar gelijk vanwege de overeen­komstige zijden (AD = AE en DG = GE en AG = AG). Volgens de 8ste propositie i hebben gelijke driehoeken gelijke hoeken: dus ∠DAG = ∠EAG. Omdat ∠DAG = ∠BAG en ∠EAG = ∠FAG en omdat ∠BAG + ∠FAG = ∠BAF, daarom concludeert Frans van Schooten dat ∠BAG = ∠FAG = ½ ∠BAF. Zodoende is hoek A in twee gelijke hoeken gedeeld.
Daarmee is volgens hem het gevraagde bewezen.



top



 

Extra

Frans van Schooten Jr stopte zijn uitleg bij het vinden van de deellijn.
De leerlingen­opdracht gaat verder. Gevraagd wordt om aan te bewijzen dat AG een deellijn is. Ook zijn er twee vervolg­opdrachten. In de eerste vervolg­opdracht wordt de vraag gesteld of deze constructie ook geschikt is om een hoek te verdubbelen.

In de tweede vervolg­opdracht wordt dieper ingegaan op de context van de opdracht: verdeel een vierhoekig stuk land.

top