www.fransvanschooten.nl

I Werckstuck

Deel een hoek in twee gelijke hoeken.iv


Inleiding

Frans van Schooten gebruikte deze bladzijde om een verrassende propositie van Euclides te behandelen:

In iedere driehoek staat de grootste zijde tegenover de grootste hoek
en de kleinste zijde staat tegenover de kleinste hoek.

Hij gebruikte deze propositie in een lemma (voorbewijs) dat hij nodig had voor de vierde manier om een hoek in twee gelijke hoeken te delen.

Van Schooten gaf op bladzijde 122 de eerste constructie, op bladzijde 123 de tweede en derde, en op bladzijde 125 de vierde constructie.


Opdracht

Gegeven zijn vijf punten A, B, D, E en F, met B, A en D op één lijn en A, E en F op één, andere lijn en met AB = BF en AD = AE, maar BA ≠ DA. Gevraagd wordt om vast te stellen dat de lijnen BE en DF elkaar snijden en waar de lijnen elkaar snijden. Frans van Schooten construeerde punt G.



top


Applets

Verrassend is de vraag waarom de lijnen elkaar snijden. Het lijkt zo vanzelfsprekend. Op deze bladzijde toonde Frans van Schooten zich een waarachtige wiskundige voor wie niets vanzelfsprekend is. Zo kwam hij op de originele vraag waar de lijnen BE en DF elkaar snijden: onder of boven. De vraag is onder welke voorwaarden ze elkaar boven punt A snijden en onder welke voorwaarden ze elkaar onder punt A snijden. Onder en boven is niet een kwestie van de tekening een halve slag draaien. Het gaat om de onderlinge positie van de punten. Preciezer verwoord is de vraag of lijn EBG lijn DFG snijdt of lijn GEB lijn GDF.

Frans van Schooten begon met het maken van een kruis waarvan de armen even lang zijn (BA = AF) en de benen even lang zijn (EA = AD), maar de armen niet even lang als de benen: BADA. Frans van Schooten Jr beweerde dat de lijnen EB en DF elkaar sneden. Het snijpunt noemde hij punt G.

Verrassend is dat de plaats waar ze elkaar snijden, niet afhangt van de grootte van de hoek in punt A! De plaats hangt alleen af van de verhouding tussen de lengtes van de armen en benen. Er zijn constructies mogelijk waarbij de lijnen elkaar onder punt A snijden, andere waar ze elkaar nooit snijden, en weer andere waar ze elkaar boven punt A snijden.

Van Schooten gebruikte twee figuren. Daarom zijn er ook twee applets. Van Schooten maakt de driehoek zonder punt C, maar in deze applets wordt, net als bij de andere, eerst driehoek ABC neergezet en pas daarna komt punt F op gelijke afstand van A als B.
De applets zijn bijna identiek. De toelichting op het verschil staat onder aan de webpagina.

toelichting op het verschil tussen de twee applets
 

 

top


Verschil tussen de twee applets

Het wezenlijke verschil tussen de twee applets is de positie van punt D.

  • In de bovenste applet zijn de mogelijkheden voor punt D zodanig beperkt dat AD altijd langer is dan AB en dus kan punt D niet dichterbij punt A komen dan de plaats van de puntspiegeling van B in A. In dat bijzondere geval ontstaan evenwijdige lijnen.
     
  • In de onderste applet is de beperking andersom. AD moet korter zijn dan AB en dus kan punt D niet verder komen dan de puntspiegeling van punt B in punt A.

De applet laat symmetrie-as AG zien en ook de evenwijdige lijnen. Een button accentueert de Z-hoeken en een andere button toont de grootte van de hoeken in graden.



top


Bewijs

Frans van Schooten gaf een klassiek meetkundig bewijs dat gebaseerd was op de axioma's, algemene inzichten, definities en proposities van Euclides.

Omdat volgens de 15de propositie r de overstaande hoeken in punt A even groot zijn (∠BAE = ∠FAD) en de in hoek A aanliggende zijden ook even lang zijn (AB = AF en AD = AE), daarom geldt volgens de 4de propositie s dat alle overeen­komstige hoeken even groot zijn: ∠BEA = ∠FDA.
Volgens de 18de propositie t is er een verband tussen de grootte van de hoeken en de grootte van de zijden:

  • de grootste zijde staat tegenover de grootste hoek,
  • de kleinste zijde staat tegenover de kleinste hoek.

In punt B is volgens de 13de propositie uEBA + ∠ABG = 180° omdat het neven­hoeken zijn. De som van alle binnenhoeken van een driehoek is altijd 180°. Omdat AE groter is dan AB is ∠EBA groter dan ∠BEA. Daarom is ∠BEA + ∠ABG < 180°. Omdat ∠BEA = ∠FDB is ook ∠FDB +∠DBG < 180°. Daarom x ligt punt G aan de kant waar de som van de hoeken kleiner is dan 180°.

Frans van Schooten verwees bij voetnoot x naar het algemene inzicht dat als een lijn twee andere lijnen snijdt en de binnenhoeken samen minder dan 180° zijn, dat dan de lijnen elkaar zullen snijden, al dan niet na ze voldoende verlengd te hebben. Voor hem en zijn vader was dat een algemeen inzicht. Pas in de 19de eeuw werden de axioma's en algemene inzichten herschikt toen bleek dat er ook een niet-euclidische meetkunde bestond.


top