www.fransvanschooten.nl

De transcriptie omvat de laatste alinea's van bladzijde 125 en het eerste deel van bladzijde 126. Het tweede deel staat op webpagina 126 II.



II Werckstuck

Deel een lijn in twee gelijke stukken v.


Inleiding

Dit is het tweede werkstuk dat Frans van Schooten Junior zijn lezers voorlegde. Doel is om een lijnstuk in twee gelijke, dat wil zeggen twee even lange, stukken te delen. Van Schooten verwees herhaaldelijk naar het boek "De Elementen" van Euclides. Het lijkt erop dat hij deze opdracht aangreep om zoveel mogelijk van Euclides te behandelen. In "De Elementen" van Euclides is dit de vijfde constructie v.

Van Schooten gaf op deze bladzijde twee verschillende constructies. Hieronder staat de eerste. De tweede staat op een eigen webpagina. De derde staat op de bladzijde 127.
 


Uitvoering


Anders (126)


Noch anders (127)


Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om lijnstuk AB in twee even lange stukken te delen.
Frans van Schooten construeerde punt F en bewees dat dit het midden van lijnstuk AB was.




top


Applets



top


Bewijs

Frans van Schooten gaf een klassiek meetkundig bewijs dat gebaseerd was op de axioma's, algemene inzichten, definities en proposities van Euclides.

Frans van Schooten trok een hulplijn vanuit punt B evenwijdig aan lijn AC. Met die hulplijn benoemde hij vergrotingen en ook even grote driehoeken. Zo toonde Frans van Schooten aan dat AF = BF.

Omdat lijn BG evenwijdigheid is aan lijn CD (gegeven) en vanwege de gelijke hoek in punt E, daarom is volgens de 4de propositie uit het zesde boek dCED een vergroting van ∆GEB. Omdat ED = 2× EB, daarom is volgens de 16de propositie uit het vijfde boeke ook DC = 2 × BG. Omdat DC = 2 × AC, daarom is BG = AC.

Vanwege f de gelijke overstaande hoek in punt F en de evenwijdigheid van lijn AC met lijn GB zijn ∆ACF en ∆FBG gelijk­vormig. Omdat AC = BG, daarom zijn volgens de 14de propositie uit het vijfde boek g de overeen­komstige zijden AF en FB ook even lang. Frans van Schooten sloot af met de conclusie dat lijn CE lijn AB in twee even grote stukken deelde.
Daarmee was volgens hem het gevraagde bewezen.

NB: Lijn BG is een middenparallel, want lijn BG is, naar de aard van de constructie, evenwijdig aan basis CD en punt B is, naar de aard van de constructie, het midden van lijnstuk DE.

top



 

Alternatief bewijs en een uitbreiding

Frans van Schooten gaf zelf alternatieve constructies en bewijzen voor het halveren van een lijnstuk. Op deze website staat nog een ander bewijs, gebaseerd op zwaartelijnen. In de uitbreiding wordt een lijn gedeeld in andere verhoudingen dan half om half, bijvoorbeeld in een-derde om twee-derde of een-kwart om drie-kwart.


top