www.fransvanschooten.nl

De transcriptie begint bij de tweede alinea en loopt door tot de eerste alinea van bladzijde 128. De eerste alinea staat op webpagina 126 II.





II Werckstuck

Deel een lijn in twee gelijke stukkenv.


Nog anders

Dit is het tweede werkstuk dat Frans van Schooten Junior zijn lezers voorlegde. Doel is om een lijn in twee gelijke, dat wil zeggen twee even grote, stukken te delen. In de constructie en het bijbehorende bewijs, verwees Van Schooten herhaaldelijk naar het boek "De Elementen" van Euclides. Het lijkt erop dat hij deze opdracht aangreep om zoveel mogelijk van Euclides te behandelen. In "De Elementen" van Euclides is dit de vijfde constructiev.

Van Schooten geeft op deze bladzijde twee verschillende uitvoeringen. Dit is zijn derde manier om een lijnstuk te delen in twee gelijke delen. De eerste en tweede manier staan op de vorige bladzijde.
 


Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om de lijn AB in twee even grote stukken te delen.


top



 

Applets



top


Bewijs

In deze schets zijn er drie mogelijkheden:

  • punt A en punt F vallen samen
  • punt A ligt tussen de punten D en F
  • punt A ligt niet tussen de punten D en F

A = F: Als punt A en F samen vallen, dan hebben we een bijzonder geval van de eerste constructie van het eerste werkstuk op pagina 122: lijn DG is een deellijn die hoek D in twee even grote hoeken deelt. Omdat van ∆FDH en ∆BDH de overeen­komstige zijden even lang zijn (FD = BD en DH = DH) en omdat de door deze gelijke zijden ingesloten hoek even groot is (∠FDH = ∠BDH), daarom zijn ze gelijk: ∆FDH = ∆BDH en dus zijn de derde zijden even lang: AH = FH = HB.
Conclusie is dat punt H lijnstuk AB in twee gelijke delen deelt.

A ≠ F: Als punt A niet samenvalt met punt F, dan volgt nu het bewijs dat punt I lijnstuk AB in twee gelijke delen deelt. We volgen de redenering van Van Schooten. Hij toont evenwijdigheid aan (AD met CH) op basis van even grote driehoeken Vervolgens toont hij aan dat ∆ADI half zo groot is als ∆ADB en bewijst daarmee dat I halverwege A en B ligt.

Hiervoor is aangetoond dat FH = HB. Omdat ze op dezelfde lijn liggen en de basis even lang is, geldt z: ∆FCH = ∆BCH. Evenzo omdat BC = CD en B, C, D op dezelfde lijn: ∆BCH = ∆DCH. Omdat aFCH = ∆BCH = ∆DCH en omdat ∆FCH en ∆DCH gelijke basis HC hebben, is de lijn DF en dus ook de lijn AD evenwijdig aan HC b.
Omdat BC = BD = ½ BD is ∆ADC = ½ ∆ADB. Vanwege de evenwijdigheid van de lijnen AD en CI geldt d: ∆ADC = ∆ADI. Dus is ook ∆ADI = ½ ∆ADB. Volgens e verhoudt de grootte van driehoeken met gelijke hoogte zich tot hun basis. Dat betekent dat als ∆ADI = ½ ∆ADB, dat dan AI = ½ AB.
Conclusie is dat punt I halverwege A en B ligt en dat dus AI = BI en dat dus het lijnstuk AB in twee even grote stukken is gedeeld.


top