www.fransvanschooten.nl

De transcriptie begint bij de tweede alinea. De eerste alinea staat op webpagina 127.



III Werckstuck.

Trek een lijn evenwijdig aan een andere lijn.x


Inleiding

Dit is het eerste werkstuk dat Frans van Schooten Junior zijn lezers voorlegde. Doel is om een lijn evenwijdig aan een andere lijn te trekken. In de constructie en het bijbehorende bewijs, verwees Van Schooten herhaaldelijk naar het boek "De Elementen" van Euclides. Het lijkt erop dat hij dit werkstuk aangreep om zoveel mogelijk van Euclides te behandelen. In "De Elementen" van Euclides is dit de tiende constructie x.

Frans Van Schooten bedacht vier verschillende constructies om een lijn evenwijdig aan een andere lijn te trekken. Gegeven de punten A, B en C maakte hij gebruik van een hulppunt D dat ergens ligt op lijn AC.


schetspositie punt Dlink naar uitwerking



webpagina 128
webpagina 129
webpagina 130
webpagina 131
webpagina 132

Opdracht

Gegeven zijn drie punten A, B en C. Gevraagd wordt om een lijn door C te trekken die evenwijdig is aan lijn AB.


top



 

Applets

In de animatie van deze applet wordt punt C op constante afstand gehouden van lijnstuk AB.



top



 

Bewijs

Frans van Schooten baseerde zijn bewijs op de tweede propositie uit het zesde boek van Euclidesc.
Daar staat:

  • als een lijn evenwijdig is aan een zijde van een driehoek, dan snijdt deze de andere twee zijden in gelijke verhoudingen,
  • en andersom, als een lijn twee zijden van een driehoek snijdt in dezelfde verhouding, dan is deze lijn evenwijdig aan de derde.

Omdat AC = AD en BD = BE snijdt lijn AB de zijden CD en ED in twee gelijke delen. Daarom snijdt lijn AB ze dus in dezelfde verhouding:

AC = BD = 1
AD BE 1

 
Volgens de tweede stelling uit het zesde boek c, is zijde AB dus evenwijdig aan de derde zijde van de driehoek en dat is zijde CE.

Conclusie is dat lijn CE evenwijdig is aan lijn AB. Daarmee is het gevraagde bewezen.


Alternatief Bewijs

Van Schooten presenteerde ook een alternatief bewijs dat gebaseerd is op de tweede uitvoering van het vorige werkstuk, op bladzijde 126, waar een lijn middendoor gesneden werd. Op grond van dat bewijs stelde hij dat ∆BCD even groot is als ∆DAE. Door van beide driehoeken de gelijke ∆DAB af te nemen d, blijven twee even grote driehoeken over. Daarom is ∆CAB even groot als ∆BAE. Deze driehoeken hebben dezelfde basis en dus liggen C en E op een lijn evenwijdig aan de lijn ABe.


top