www.fransvanschooten.nl

Op deze webpagina staat de transcriptie van de laatste alinea van bladzijde 128, geheel bladzijde 129 en de eerste alinea van bladzijde 130.




Voorbewijs bij III Werckstuck.

Trek een lijn evenwijdig aan een andere lijn. x.


Inleiding

Ter voorbereiding op de constructie op bladzijde 130, maakte Van Schooten hier twee voorbewijzen om aan te tonen dat lijnen elkaar moeten snijden.


Opdracht

Gegeven zijn drie punten A, B en C. Geconstrueerd is punt E op AB met AB = BE en B halverwege AE. Zij punt D een punt op lijn AC en punt F het snijpunt van BD en CE

Toon aan dat:

  • lijn BD niet evenwijdig is aan lijn CE als AD groter of kleiner is dan CD.
  • als AD > AB, dat dan punt F aan de zelfde kant van AB ligt als punt C.
  • als AD < AB, dat dan punt F aan de andere kant van AB ligt dan punt C.

top



 

Applets

Toelichting

Frans van Schooten gebruikte hulppunt K halverwege AC. Eerst wordt opgemerkt dat BK wel evenwijdig is aan EC, maar BD niet. Verwezen wordt naar het bewijs op bladzijde 128. Daarmee is tevens bewezen dat BD en CE niet evenwijdig zijn. Vervolgens toont van Schooten aan of F "boven" of "onder" ligt. Onder of boven is geen kwestie van draaien, maar van volgorde: BDF en ECF zijn een andere volgorde dan DBF en CEF.

Van Schooten maakt ons hier mee duidelijk dat we er met één schets niet zijn. We hebben er minstens twee nodig. In de bovenste schets is AD > CD en in de onderste is AD < CD.




Bewijs

lijn BK is evenwijdig aan CE omdat BK de zijden van driehoek ACE in dezelfde verhouding snijdt want AB = AE. lijn BD is dat niet want de verhoudingen zijn niet gelijk: AD ≠ DC

AK = KC maar AD DC
AB BE AB BE

Driehoek KDB is gelijk­vormig met driehoek CDF vanwege de overeen­komstige overstaande hoek in D (∠KDB = ∠CDF) en vanwege de overeen­komstige Z-hoek in K en C (∠DKB = ∠DCF).

Als AD > DC dan is de som van de twee hoeken DKB en KDB van driehoek KDB samen minder dan 180° omdat de derde hoek DKB groter dan nul is. Als ∠DKB + ∠KDB < 180°, dan is dus ∠DCF + ∠CDF < 180°. Dat betekent dat F aan de kant van lijn CD ligt waar de som van de hoeken kleiner dan 180° is. In de bovenste tekening is dat dus aan de andere kant van D dan B en aan de andere kant van C dan E. De volgorde van de punten is dus BDF en ECF.

In de onderste tekening, AD < DC, volgen we dezelfde redenering en concluderen we dat de volgorde van de punten is DBF en CEF.


top



 




Inleiding


top