www.fransvanschooten.nl




III Werckstuck.

Trek een lijn evenwijdig aan een andere lijn. x.


Inleiding

Op deze webpagina wordt de tweede uitvoering van het derde werkstuk besproken. Van Schooten gebruikt drie tekeningen ter illustratie van één en dezelfde uitvoering


Opdracht

Gegeven drie punten A, B en C, gevraagd wordt om een lijn door C te trekken die evenwijdig is aan de lijn AB.

Toelichting

Gegeven de punten A, B en C, kiezen we ergens op lijn AC een punt D. Dit punt D mag tussen A en C liggen (illustratie 1 en 2). Voorwaarde is wel dat D niet halverwege AC ligt. punt D mag ook voorbij C liggen (illustratie 3). Voorwaarde is in dat geval dat punt C niet halverwege AD ligt. Deze bijzondere situaties worden besproken op bladzijde 131.

De noodzaak om deze situaties uit te sluiten, wordt duidelijk bij het bewijs. Dan komen we hier op terug.


top



 

Applets

In het boek staan drie figuren met als verschil de positie van D op lijn AC. Dat verschil heeft gevolgen voor de positie van F.

  • Als D voorbij C ligt, dus als AD > AC, dan ligt F altijd binnen de driehoek op lijn AG, tussen A en G.
  • Als AD > AB, dan ligt F boven G
  • Als AD < AB, dan ligt F onder A

In de applet mag je zelf bepalen waar D ligt. Ook mag je A, B en C verplaatsen. De punten A, B, C en D staan in de uitgangspositie van de eerste figuur. Kies voor figuur 1, 2 of 3 om de juiste achtergrond te krijgen. De punten A, B, C en D springen naar de juiste plaats.

De lijn HI is een hulplijn die Van Schooten gebruikt om te kunnen bewijzen dat GC evenwijdig is aan AB.

Bij de tweede figuur zien we dat de houtsnede fors afwijkt van de applet. De houtsnijder heeft hier flink misgesneden.




Bewijs

Om evenwijdigheid te bewijzen, maakt Van Schooten gebruik van een hulplijn: HI. Deze lijn heeft als bijzondere eigenschap dat ze per definitie evenwijdig is aan AB. lijn HI is dus evenwijdig en van lijn GC moeten we het nog bewijzen.

Essentieel is dat punt F bestaat als snijpunt van EC en BD. Op bladzijde 129 bewijst van Schooten dat punt F altijd bestaat mits EC en BD niet evenwijdig zijn en dat is het geval als AD groter of kleiner is dan AB. Ook laat hij zien dat AD < AB en wezenlijk andere situaties is dan AD > AB en dat we formeel het gevraagde voor beide situaties moeten bewijzen

Om het gevraagde te bewijzen gaan we op zoek naar gelijkhoekige driehoeken en constateren dat er gelijke driehoeken zijn. Uiteindelijk vinden we twee even grote driehoeken met dezelfde basis en op grond daarvan bewijzen we evenwijdigheid.

Omdat HI evenwijdig is aan AB, zijn de driehoeken HDF en ABF gelijkhoekig. Dat betekent x dat de verhoudingen van de zijden gelijk zijn. Ook de driehoeken BFE en DFI zijn gelijkhoekig en de verhoudingen van de zijden zijn ook hier gelijk.

AB = HD  en  BE = DI
BF DF BF DF

Omdat AB = BE concluderen y we nu dat HD = DI.

De driehoeken GHD en GAE zijn gelijkhoekig. Dus z verhouden de zijden zich tot elkaar:

HD = AE  dus a   HD = DG
DG EG AE EG

Op dezelfde manier voor de gelijkhoekige driehoeken CDI en CAE:

DI = AE  dus a   DI = DC
DC AC AE AC

Omdat HD = DI:

HD = DI  dus  DG = DC
AE AE EG AC

Omdat oppervlaktes zich verhouden tot de zijden:

DG = CDG  en  DC = CDG
EG CEG AC CAG

We concluderen d nu dat de driehoeken CEG en CAG even groot zijn. Beide driehoeken hebben als basis GC. Dat betekent dat hun toppen A en E op een lijn liggen evenwijdig aan GC. We hebben dus evenwijdigheid aangetoond tussen de lijn door de punten A en B en de lijn door de punten C en G.

Daarmee is het gevraagde bewezen.


top