www.fransvanschooten.nl

De transcriptie begint bij het vierde werkstuk en loopt door tot de eerste alinea van bladzijde 134. De transcriptie van de eerste alinea hoort bij webpagina 132.





IV Werckstuck

Trek een lijn loodrecht op een andere lijn.


Inleiding

Op deze bladzijde staat de eerste constructie. Op bladzijde 134 staan er nog twee en op bladzijde 135 staat een vierde. Wij voegen daar nog een vijfde constructie aan toe.

Met dit werkstuk laat Frans van Schooten zien hoe je een loodrechte lijn trekt zonder gebruik te maken van een gradenboog, passer of winkelhaak. Hij behandelde dit als een werkstuk apart. Bijzonder is dat dit werkstuk niet verwijst naar één van de werkstukken van Euclides verwijzen, terwijl alle andere dat wel doen. Vermoedelijk om didactische redenen koos Van Schooten ervoor om eerst het onderwerp "een lijn loodrecht op een andere lijn" te behandelen om daarna het onderwerp "een lijn loodrecht op een andere lijn door een punt (al dan niet op die lijn)" te behandelen.


constructie 134-1
constructie 134-2
constructie 135-1
constructie 135-2

Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om op lijn AB een lijn te trekken die daar loodrecht op staat.
Frans van Schooten construeerde twee punten E en F en bewees dat lijn EF loodrecht staat op lijn AB.


top



 

Applet

Het verschil tussen beide figuren is minimaal: in de bovenste tekening staat punt E aan de andere kant van C en in de onderste staat het aan de zelfde kant van C als punt B. Daarom toont de applet beide. Druk op de button fig_1 of fig_2 om te wisselen.




Uitvoering

Gegeven zijn de punten A en B. Trek de lijn AB en plaats daarop punt C aan de andere zijde van B dan A op gelijke afstand, zodat AB = BC. Plaats ergens buiten de lijn AB een punt D op gelijke afstand opdat AB = BD. Trek de lijn CD. Bepaal op lijn ABC het punt E zodanig dat CD = CE. Dit punt E mag zowel links als rechts van punt C liggen. Bepaal op lijn CD het punt F aan de andere zijde van C dan D waarbij CF = AC = 2 AB. De lijn door de punten E en F staat loodrecht op lijn door de punten A en B.

Toelichting

Van Schooten gebruikt hier de "omgekeerde stelling van Thales"c: voor ieder punt D op een cirkel met middellijn AC geldt dat hoek D recht is (preciezer: ∠ADC = 90°).
Driehoek BCD lijkt gelijkzijdig, maar is gelijkbenig met basis CD.

Bewijs

Punt D ligt op de cirkel met middelpunt B en straal AB = BC = BD. Gevolg c is dat hoek ADC recht is. De driehoeken ADC en FEC zijn gelijk omdat d ze de overstaande hoek gemeenschappelijk hebben en omdat de aanliggende zijden even lang zijn: CD = CE en AC = CF. Gelijke driehoeken hebben gelijke overeen­komstige hoekene . Daarom is hoek E recht omdat hoek D recht is: ∠ADC = ∠FEC. Conclusie is dat lijn EF loodrecht staat op lijn AB.

Daarmee is het gevraagde bewezen.

Als toegift geven we het bewijs dat ∠ADC recht is omdat punt D op de cirkel ligt met middelpunt B en straal AB = BC = BD. We onderzoeken de hoeken in driehoek ADC. Om te beginnen zijn ∆ABD en ∆CBD gelijkbenig want AB = BC = BD. De som van de hoeken in een driehoek is 180. Samen zijn alle hoeken van beide driehoeken 360: ∠BAD + ∠BDA + ∠ABD + ∠DBC + ∠BDC + ∠BCD = 360.
De twee tophoeken zijn samen een gestrekte hoek: ∠ABD + ∠DBC = 180.
Over blijft: ∠BAD + ∠BDA + ∠BDC + ∠BCD = 180.
Omdat in een gelijkbenige driehoek de basishoeken aan elkaar gelijk zijn (∠BAD = ∠BDA en ∠BDC = ∠BCD) krijgen we dat de helft van de hoeken de helft van 180 is: ∠ADB + ∠BDC = 90. Conclusie is dat ∠ADC een rechte hoek is, want ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC = 90.


top