www.fransvanschooten.nl


V Werckstuck

Lijn loodrecht op andere lijn door een punt op vi of buiten vii die lijn.


Inleiding

Op deze pagina werkt Frans van Schooten twee werkstukken heel summier uit:
Werkstuk V
Werkstuk VI

Aanvullend presenteren we op deze webpagina een originele variant op werkstuk V die niet had misstaan in de "Mathematische Oeffeningen".
Variant C op AB
Variant C buiten AB

Werkstuk V gaat over het trekken van een lijn loodrecht op een lijn door een punt op of buiten die lijn. Dat is een uitbreiding van Werkstuk IV waar een willekeurige lijn loodrecht op een andere lijn getekend wordt. Dit werkstuk IV staat op bladzijde 133 en een tweede uitvoering staat op bladzijde 134. Van Schooten behandelt het als zodanig: zijn voorstel is om eerst ergens willekeurig een lijn loodrecht op die andere te trekken en dan een lijn te construeren die daar evenwijdig aan is en door het gevraagde punt gaat. Op bladzijde 128 en verder staan vijf uitwerkingen voor het trekken van een lijn evenwijdig aan een andere lijn. Wiskundig is zijn voorstel juist, maar als punt C op lijn AB ligt, is er een kortere constructie denkbaar met minder stappen. Daarom presenteren we daar een eigen, origineel voorstel.


Opdracht

Gegeven een lijn door twee punten A en B, gevraagd wordt om een lijn te trekken door enig punt C, loodrecht op lijn AB.

top



 

Applet


V Werckstuck

Lijn loodrecht op andere lijn door een punt op die lijn.vi



Alternatief C op AB

Gegeven de lijn door de punten A en B en punt C op lijn AB, gevraagd wordt om een loodlijn door C te construeren.


top



 

Applet

De tekening is overgenomen van bladzijde 133, punt A is weggelaten. Driehoek BCD lijkt gelijkzijdig, maar is gelijkbenig met basis CD. Halverwege CF staat het punt G. Voor de constructie is punt F niet nodig. In het bewijs gebruiken we punt F als onderdeel van vierhoek CEFH.




Bewijs

Het bewijs voor beide alternatieven gaat in twee stappen. Eerst bewijzen we dat driehoek CDB gelijk is aan driehoek CEG, daarna dat CEFH een recht­hoek is en dat dus CH loodrecht op BC staat. De eerste stap is essentieel in het bewijs, maar leerlingen zijn geneigd die over te slaan en lopen dan vast. Het bewijs met de recht­hoek sluit aan bij de eigenschappen van een recht­hoek die leerlingen in de brugklas leren. Leerlingen kennen ook andere bewijzen. Rick werkt algebraïsch en benoemt de hoeken. Deze techniek wordt in de onderbouw geleerd, maar leerlingen vinden het lastig om foutloos te werken. Paul herinnert zich de stelling van Thales en is snel klaar.

Driehoek CDB is gelijk aan driehoek CEG want overstaande hoeken zijn gelijk en ook de aanliggende zijden zijn gelijk: ∠BCD = ∠ECG en BC = CG en CD = CE. Gevolg is dat BD = EG. Gelijkbenige driehoek CDB is dus gelijk aan gelijkbenige driehoek CEG.

Vanuit punt G zijn de vier lijnen even lang. Dat is bewezen voor CG = EG en GH en GF zijn volgens de constructie net zo lang en liggen bovendien in het verlengde. De lijnen CGF en EGH zijn diagonalen van vierhoek CEFH. Bovendien snijden ze elkaar middendoor. Daarom is CEFH een recht­hoek en dus staat CH loodrecht op CE en dus op BCE en dus op BC. Daarmee is het gevraagde bewezen.

Alternatief voor het bewijs met de recht­hoek is een bewijs gebaseerd op hoeken benoemen.
Vanwege de gelijkbenigheid geldt:
GCE = ∠GEC = a
HCG = ∠CHG = b
In de hoek tussen HC en BC geldt:
HCE = ∠GCH + ∠GCE = a + b
In de driehoeken geldt dat de som van de hoeken 180° is:
CGE + 2a = 180°
HGC + 2b = 180°
neven­hoeken zijn samen 180°:
CGE + ∠HGC = 180°
Herschrijven geeft de volgende vergelijkingen:
2b = ∠CGE
2a = ∠HCG
2a + 2b = 180°
a + b = 90°
Conclusie is dat de gevraagde hoek recht is
HCE = 90°
Daarmee is het gevraagde bewezen.

Een derde variant maakt gebruik van de (omgekeerde) stelling van Thales: Als C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is driehoek ABC een driehoek die recht­hoekig is in punt C.
In de figuur is G het middelpunt van de cirkel met middellijn HE en ligt C op de cirkel omdat HG = CG = EG. Volgens de (omgekeerde) stelling van Thales is hoek HCE recht.
Daarmee is het gevraagde bewezen.

Over de diagonalen van een recht­hoek

Het bewijs dat een vierhoek met evenlange diagonalen die elkaar middendoor snijden een recht­hoek is, gaat alsvolgt. ∆CGH en ∆EGF zijn gelijkbenig met evenlange benen en gelijke tophoek, want de overstaande hoeken in G zijn gelijk. Dus zijn de driehoeken aan elkaar gelijk: ∆CGH = ∆EGF. Gevolg is dat de basiszijden gelijk zijn: CH = EF. De paarsgewijs gelijke hoeken, ∠HCG = ∠CHG en ∠FHG = ∠HFG, zijn samen twee rechte hoeken (180°) want de som van de drie hoeken van een driehoek is altijd twee maal een rechte hoek. De helft daarvan, ∠CHF = ∠ CHG + ∠GFH is dus een rechte hoek (90°).
Op dezelfde manier bewijzen we dat de andere hoeken van de vierhoek recht zijn. Zo hebben we bewezen dat vierhoek CEFH vier rechte hoeken heeft en dat het dus een recht­hoek is.
Conclusie is dat een vierhoek met evenlange diagonalen die elkaar middendoor snijden een recht­hoek is. Daarmee is het gevraagde bewezen.


V Werckstuck:
Alternatief C niet op AB

Lijn loodrecht op andere lijn door een punt buiten die lijn.vii



Opdracht

Gegeven de lijn door de punten A en B en punt C buiten lijn AB, gevraagd wordt om een loodlijn door C te construeren.


top



 

Applet

De tekening is overgenomen van bladzijde 133, punt A is weggelaten. Driehoek BCD lijkt gelijkzijdig, maar is gelijkbenig met basis CD. Halverwege CF staat het punt G. Voor de constructie is punt F niet nodig. In het bewijs gebruiken we punt F als onderdeel van vierhoek CEFH.

Uitvoering

In dit alternatief combineren we de werkstukken van bladzijde 133 voor het tekenen van een loodlijn en bladzijde 131 voor het tekenen van een evenwijdige lijn. We maken een nieuwe schets zoals Van Schooten dat zou doen en geven de punten een naam.

Gegeven zijn de lijn AB en gegeven is punt C. Kies een punt D, en maak het vlinderstrikje ABDFE. Trek loodlijn GEH. Trek evenwijdige lijn CJ. Resultaat is de gevraagde loodlijn CJ.
Het bewijs laten we achterwege.



VI Werckstuck