www.fransvanschooten.nl

Deze webpagina opent met voorstel I. Op een aparte webpagina staat voorstel II.
webpagina 157 (II)


I Voorstel

Bepaal de afstand van A naar B als je niet van A naar B kunt gaan.


Inleiding


Frans van Schooten beschreef verschillende constructies die te maken hadden met onbereikbare punten. De eerste, voorstel I, ging over het bepalen van de afstand van A naar B als je niet van A naar B kunt gaan. Van Schooten werkte hiervoor verschillende constructies uit. Die noemde hij "anders" en "nog anders". Van Schooten gaf ook constructies om de plaats van een punt L op die lijn van A naar B te vinden. Die nummerde hij voorstel II en III. Voorstel II betreft het bepalen van punt L op zekere afstand van punt A en voorstel III betreft dat op zekere afstand van punt B.

De tekening op deze bladzijde illustreert wat Frans van Schooten bedoelde met niet bereikbare punten. Een soldaat staat op de ene oever in punt A naast twee kanonnen en kijkt naar een vesting op de andere oever in punt B.
Ook op bladzijde 166 liet Frans van Schooten zien wat hij bedoelde met niet bereikbare punten. Dat zijn punten die in het water liggen. In de tekening zie je een roeibootje in de juiste richting varen naar het bedoelde punt.

Andere illustraties laten rivieren, soldaten en kanonnen zien. Op bladzijde 158 staat een toelichting. Hier lees je duidelijk dat het over belegeringen in de tachtigjarige oorlog gaat. Vrij vertaald staat er: Soms is een rivier zo breed dat een kanon de overkant niet haalt. Als de rivier zo breed was, dan kon de vijand ongehinderd over de rivier varen om de belegerde stad te bevoorraden. Om dat te voorkomen, moesten er versterkingen in de rivier gemaakt worden van waaruit kanonnen wel de hele rivier konden bestrijken. Pas dan was een blokkade effectief.

Overzicht

Op een paar bladzijden heeft Frans van Schooten drie, nauw verwante, voorstellen in variaties uitgewerkt. Hieronder staat een overzicht van de verschillende constructies:

Voorstel I: Bepaal de afstand van A naar B als je niet van A naar B kunt gaan.
Voorstel II en III: Idem: van A naar L of van B naar L.

Voorstel I:
 
Bepaal de afstand van A naar B  

webpagina 157 (I)
webpagina 158 (I)
webpagina 160 (I)
webpagina 162 (I)

Voorstel II:
 
Bepaal L op zekere afstand van A  

webpagina 157 (II)
webpagina 159 (II)
webpagina 160 (II)
webpagina 163 (II)

Voorstel III:
 
Bepaal L op zekere afstand van B  

webpagina 158 (III)
webpagina 159 (III)
webpagina 161 (III)
webpagina 164 (I)

 

top



 

Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om de lengte van de afstand van A naar B te bepalen zonder van A naar B te gaan.


top



 

Applets


top


Bewijs

Het bewijs is gebaseerd op congruente driehoeken: ∆ACD ≅ ∆AEF en ∆ABC ≅ ∆AEG.
congruentie

Omdat de driehoeken ACD en AEF een even grote hoek hebben in punt A, want c overstaande hoeken zijn even groot, en omdat de overeen­komstige aanliggende zijden even lang zijn, AC = AE en AD = AF (gegeven), daarom a zijn de driehoeken gelijk (congruent). Dus is ∠C = ∠E.
Omdat ook de driehoeken ABC en AEG een even grote hoek hebben in punt A, want c overstaande hoeken zijn even groot, en omdat ∠C = ∠E en omdat de ingesloten zijden even lang zijn, AC = AE (gegeven), daarom a zijn de driehoeken gelijk (congruent). Dus is AB = AG.
Conclusie is dat de op te meten afstand AG altijd gelijk is aan de afstand AB die niet opgemeten kan worden omdat B onbereikbaar is.


top