www.fransvanschooten.nl

Deze webpagina gaat over het middelste deel van webpagina 158. De bovenste alinea hoort bij voorstel II. De onderste alinea betreft een alternatief voor voorstel I. Dat staat op een aparte webpagina.
webpagina 158 (I)


III Voorstel

Bepaal de plaats van een punt L op een lijn van A naar B,
zodanig dat de afstand van B naar L gelijk is aan een gegeven afstand,
terwijl je niet van A naar B kunt gaan.


Inleiding


Dit voorstel is onderdeel van een verzameling aanverwante constructies. Meer informatie staat op webpagina 157 (I).

De context is hier dat de rivier te breed is om met een kanon vanuit punt A de hele rivier te bestrijken tot aan punt B. Dat betekent dat vijandelijke schepen ongehinderd kunnen passeren door dicht aan hun eigen veilige oever te varen. Om dat te verhinderen moet een strekdam in de rivier gemaakt worden opdat vanaf het einde van die strekdam een kanon wel reikt tot de overkant van de rivier. Zo kan geen boot ongehinderd passeren. Als je weet hoever een kanon schieten kan, moet je dus uitzoeken hoe ver van B het einde van de strekdam moet komen. Dat is het gevraagde punt L.
Op webpagina 161 (III) staat een soortgelijke opdracht. Daar gaat het erom het punt I te vinden dat net buiten het bereik van de kanonnen in punt B valt. Daar zie je dat de eigen schepen veilig zijn tussen A en I voor het vijandelijk geschut.
In de schets op bladzijde 166 zie je een roeibootje in de juiste richting varen naar het bedoelde punt.

Voor Frans van Schooten is voorstel III (bepaal afstand BL) wiskundig hetzelfde als voorstel II (bepaal afstand AL). Dat staat op webpagina 157 (II)

Frans van Schooten gebruikte hier, op bladzijde 158, dezelfde schets als op bladzijde 157. Op het eerste gezicht lijken al deze opdrachten op elkaar, maar toch is er een groot verschil. Op bladzijde 157 wordt gevraagd naar de lengte van de afstand van A naar B, en op bladzijde 158 naar het afpassen van een afstand BL in de richting van A.

Dit is de eerste manier om een punt L te vinden op zekere afstand van het onbereikbare punt B. Variaties op deze opdracht staan op de volgende webpagina's: 159 (III), 161 (III) en 164 (III).
webpagina 159 (III)
webpagina 161 (III)
webpagina 164 (III)


Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B en een zekere afstand. Gevraagd wordt om zekere afstand af te meten vanuit B in de richting van A zodanig dat BL de gevraagde afstand is.


top



 

Applets


top



 

Bewijs

Dit bewijs is bijna een kopie van dat van Voorstel II op de vorige webpagina.
webpagina 157 (II)

Het bewijs is gebaseerd op congruente driehoeken: ∆ACD ≅ ∆AEF en ∆AEI ≅ ∆ACK en ∆AEH ≅ ∆ACL.
congruentie

Door de constructie zijn de driehoeken ACD en AEF aan elkaar gelijk, want ze hebben een even grote, overstaande, hoek in A en de aanliggende zijden zijn even lang: AC = AE en AD = AF. Door de constructie zijn ook de driehoeken AEI en ACK aan elkaar gelijk, want ze hebben een even grote, overstaande, hoek in A en de aanliggende zijden zijn even lang: AC = AE en AI = AK. Daarom zijn ook de driehoeken AEH en ACL aan elkaar gelijk, want ze hebben een even grote, overstaande, hoek in A en ∠C = ∠E en de tussenliggende zijde is even lang: AC = AE. Gevolg is dat de zijden AH en AL ook even lang zijn. Evenzo zijn GH en BL ook even lang. Zodoende is punt L op AB geconstrueerd op de gevraagde afstand van B.


top