www.fransvanschooten.nl

De transcriptie van Voorstel II begint halverwege bladzijde 159 en staat tussen Voorstel I en Voorstel III.
Die staan op webpagina 158 (I) en op webpagina 159 (III)


II Voorstel

Bepaal de plaats van een punt L op een lijn van A naar B,
zodanig dat de afstand van A naar L gelijk is aan een gegeven afstand,
terwijl je niet van A naar B kunt gaan.


Inleiding

Dit voorstel is onderdeel van een verzameling aanverwante constructies. Meer informatie staat op webpagina 157 (I).

Op bladzijde 157 moet je ver naar achter gaan: evenver als de afstand van A naar L. Soms heb je daar niet de ruimte voor. Frans van Schooten Junior had hier een oplossing voor. In deze constructie gebruikte hij vergrotingsfactor 3. Uiteraard is de constructie ook met andere factoren te maken.
Hij gebruikte hier de schets van bladzijde 159 om alle drie de voorstellen te behandelen.
Voorstel I van A naar B op webpagina 158 (I)
Voorstel II van A naar L op deze webpagina
Voorstel III van B naar L op webpagina 159 (III)

Dit is de tweede manier om een punt L te vinden op zekere afstand van punt A in de richting van het onbereikbare punt B. Variaties op deze opdracht staan op de volgende webpagina's: 157 (II), 160 (II) en 163.


Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B en een zekere afstand. Gevraagd wordt om zekere afstand af te meten vanuit A in de richting van B.



 
 
 

top



 

Applets


top



 

Bewijs

Het bewijs lijkt op het eerdere bewijs voor voorstel II, maar hier is het gebaseerd op vergrotingen met factor 3.
webpagina 157 (II)
Voor wat betreft de vergrotingen lijkt dit bewijs op dat van voorstel I.
webpagina 158 (I)

Het bewijs is gebaseerd op congruente driehoeken: ∆AFH ∼ ∆EFG en ∆AFH ∼ ∆ADI en ∆EFG ≅ ∆ADI en ∆ABF ∼ ∆AKD.
congruentie

Door de constructie is de driehoek AFH een vergroting van ADM met factor 3, want ze hebben een gelijke hoek in A en de aanliggende zijden zijn over­eenkomstig: AF = 3 × AD en AH = 3 × AE. Door de constructie is ook de driehoek AFO een vergroting van ADN met factor 3, want ze hebben een gelijke hoek in A en de aanliggende zijden zijn over­eenkomstig: AK = 3 × AI en AO = 3 × AN. Daarom is ook de driehoek AFL een vergroting van ADM met factor 3, want ze hebben een gelijke hoek in A en ∠D = ∠F en de tussenliggende zijde is over­eenkomstig met factor 3: AF =  3 × AD. Gevolg is dat zijde AL een vergroting met factor 3 is van AM. Zodoende is punt L op AB geconstrueerd op de gevraagde afstand van A.


top