www.fransvanschooten.nl

De transcriptie begint bij het voorstel I. Voorstel II staat op een aparte webpagina.
bladzijde 160 (II)


I Voorstel

Bepaal de afstand van A naar B als je niet van A naar B kunt gaan.


Inleiding


Dit voorstel is onderdeel van een verzameling aanverwante constructies. Meer informatie staat op webpagina 157.

Op bladzijde 157 moet je vanuit C een stukje in de richting van B gaan. Soms heb je daar niet de ruimte voor, bijvoorbeeld omdat A te dicht bij het onbegaanbare gebied ligt. Frans van Schooten Junior had hier een oplossing voor.

In de schets op bladzijde 166 liet Frans van Schooten zien wat hij bedoelde met niet bereikbare punten. Dat zijn punten die je wel kon zien, maar waar je in het open veld geen meetstokken kon plaatsen. Op bladzijde 166 zijn dat alle punten die in het water liggen. Alle bereikbare punten liggen dan op de vaste wal. Daar zie je een roeibootje in de juiste richting varen naar het bedoelde punt.

Dit is de derde manier om de afstand AB te bepalen. De andere manieren staan op webpagina 157 (I), 158 (I) en 162.:
webpagina 157 (I)
webpagina 158 (I)
webpagina 162


Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om de lengte van de afstand van A naar B te bepalen zonder van A naar B te gaan.


top



 

Applets


top



 

Bewijs

Dit bewijs is, net als het voorstel zelf, een variatie op dat van Voorstel I. Verschil is dat punt C daar buiten de lijn AB ligt en hier juist op die lijn AB.
webpagina 157 (I)

Het bewijs is gebaseerd op congruente driehoeken: ∆ACD ≅ ∆EFD en ∆BCD ≅ ∆GFD.
congruentie

Door de constructie zijn de driehoeken ACD en EFD aan elkaar gelijk, want ze hebben even grote, overstaande, hoeken in D en de aanliggende zijden zijn even lang: AD = DE en CD = DF. Gevolg is dat ∠C = ∠F. Daarom zijn ook de driehoeken BCD en GFD aan elkaar gelijk, want ze hebben een even grote overstaande hoek in D en ∠C = ∠F en de tussenliggende zijden zijn even lang: CD = DF. Gevolg is dat de overeen­komstige zijden ook even lang zijn: DG = BD en GF = BC. Omdat BC = AB + AC en FG = EF + EG en AC = EF geldt dat AB = EG.
Daarom is de op te meten afstand EG altijd gelijk aan de afstand AB die niet opgemeten kan worden omdat B onbereikbaar is.


top