www.fransvanschooten.nl

De transcriptie begint halverwege bij Voorstel I. Het voorgaande staat op webpagina 162


I Voorstel

Bepaal de afstand van A naar B als je niet van A naar B kunt gaan.


Inleiding

Een landmeter staat op de oever van een rivier (bij punt A) met de opdracht om de afstand tot de overkant (punt B) te bepalen. Frans van Schooten weet raad. In zijn "Mathematische Oeffeningen" staat op bladzijde 162 een constructie om de afstand exact te bepalen.

3

Verwante constructies

Deze constructie is onderdeel van een verzameling aanverwante constructies. Meer informatie staat op webpagina 157.

Dit is de vierde manier om de afstand AB te bepalen. De andere drie manieren staan op webpagina 157 (I), 158 (I) en 160 (I).:
webpagina 157 (I)
webpagina 158 (I)
webpagina 160 (I)

Verantwoording afbeeldingen

De afbeelding uit het boek bevat extra punten en lijnen die overbodig zijn bij deze constructie. Daarom is de oorspronkelijke afbeelding vereenvoudigd.
Illustratief is de afbeelding van bladzijde 158 waar een landmeter met een landmeterskruis staat afgebeeld aan de oever van een woelige rivier.


Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om de lengte van de afstand AB te bepalen zonder van A naar B te gaan.


top


Applets


top


Bewijs

Te bewijzen is dat AB = GK.

Door de constructie met AC = CD = DF = FG ontstaat de gelijkbenige driehoek ADG met middens C en F en deellijn DH. Op webpagina 122 staat het bewijs dat DH de deellijn is van ∆ADG. Omdat punt I op de deellijn ligt, is ∆ADI = ∆GDI want ze hebben een gelijke hoek in D en de aanliggende zijden zijn even lang: AD = GD en DI = DI. Daarom zijn de binnenhoeken gelijk, ∠DAI = ∠DGI, en zijn de buitenhoeken gelijk ∠KGI = ∠BAI. Dat ∆KGI = ∆BAI volgt uit de overstaande hoek in I, de gelijke hoeken in A en G en de even lange zijden: AI = GI. Gevolg is dat de overeen­komstige zijden even lang zijn: KG = AB.
Daarom is de op te meten afstand KG altijd gelijk aan de afstand AB die niet opgemeten kan worden omdat B onbereikbaar is.

NB. De voorwaarde AC = CD en DF = FG is afdoende.

.


top