www.fransvanschooten.nl

De transcriptie betreft alleen II Voorstel. Voorstel III staat op  webpagina 164.


 

II Voorstel

Bepaal de plaats van een punt N op een lijn van A naar B, zodanig dat de afstand van A naar N gelijk is aan een gegeven lengte l, terwijl je niet van A naar B kunt gaan.


Inleiding

Een landmeter staat op de oever van een rivier (bij punt A) met de opdracht om een paal in de rivier te slaan (bij punt N). Opdracht is dat de paal komt in de richting van de kerktoren (in punt B) op zekere afstand l van de oever. Frans van Schooten weet raad. In zijn "Mathematische Oeffeningen" staat op bladzijde 163 een constructie om het punt exact te bepalen.

Verwante constructies

Deze constructie is onderdeel van een verzameling aanverwante constructies.
Meer informatie staat op webpagina 157.
Op deze webpagina staat de vierde manier om een punt L of N te vinden op zekere afstand van punt A in de richting van het onbereikbare punt B. De andere drie manieren staan op webpagina 157 (II), 159 en 160 (II).:
webpagina 157 (II)
webpagina 159 (II)
webpagina 160 (II)

3

Verantwoording afbeeldingen

De afbeelding hierboven staat niet in het boek "Mathematische Oeffeningen". De afbeelding die wel in de tekst staat, hoort namelijk niet bij de constructie die in de tekst beschreven wordt (vindt punt N met AN = GL), maar bij de constructie om gegeven punt N de lengte van afstand AN op te meten (vindt punt L met GL = AN). Ook het idee van het bootje staat niet op bladzijde 163, maar wel op bladzijde 166. De man in de boot laat zich sturen door twee mannen op de wal. De ene man stuurt de boot over kijklijn DCAB en de ander over kijklijn FM.

Animatie



animatie

Afbeelding boek

Hieronder staat de echte afbeelding uit het boek met een kerktorentje in punt N. Bij deze afbeelding pas onderstaande opdracht.

Een landmeter staat op de oever van een rivier (bij punt A) en wil weten hoever de ene kerktoren (bij punt N) afstaat van de andere kerktoren (bij punt B).



Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B en een zekere lengte l. Gevraagd wordt om punt N zodanig op lijnstuk AB af te meten dat afstand AN = l.


top


Applets


top


Bewijs

Te bewijzen is dat AN = GL.

Door de constructie met AC = CD = DF = FG ontstaat de gelijkbenige driehoek ADG met middens C en F en deellijn DH. Op webpagina 122 staat het bewijs dat DH de deellijn is van ∆ADG. Omdat punt M op de deellijn ligt, is ∆CDM = ∆FDM want ze hebben een gelijke hoek in D en de aanliggende zijden zijn even lang: DF = DC en DM = DM. Daarom zijn de binnenhoeken gelijk, ∠DFM = ∠DCM, en zijn de buitenhoeken gelijk ∠LFM = ∠NCM. Dat ∆LFM = ∆NCM volgt uit de overstaande hoek in punt M, de gelijke hoeken in de punten C en F en de even lange zijden: FM = CM. Gevolg is dat de overeen­komstige zijden even lang zijn: LF = NC. Omdat GF = AC is LG = NA want LF = LG + GF = NC = NA + AC.
Conclusie is dat het gezochte punt N op afstand GL van punt A het snijpunt van de kijklijnen AB en FM is.

NB. De voorwaarde AC = CD en DF = FG is afdoende.

.


top