www.fransvanschooten.nl

 

Het perspectief valt in het water.

Als we de nodige punten en lijnen bijtekenen, zien we dat van Schooten een perspectieftekening gebruikt, waarbij de voorgrond in het water ligt.

Eerst leggen we uit wat van Schooten doet, daarna laten we met de applet zien dat de constructie lijkt te werken en tot slot bewijzen we waarom deze constructie altijd een evenwijdige lijn oplevert.

We gaan op zoek naar een lijn door punt C die evenwijdig ligt aan de lijn door de punten A en B. In de applet mogen we punt A, B en C willekeurig kiezen.
op lijn AB meten we een punt D zodanig af dat de afstand DB gelijk is aan de afstand AB. op lijn CD benoemen we ergens een punt E. Dat punt ligt dus ergens willekeurig op lijn CD. Het snijpunt van de lijn EA en de lijn CB noemen we F
op lijn AB wijzen we willekeurig een punt G aan. Vervolgens meten we op lijn AB een punt H af zodanig dat de afstand AG gelijk is aan de afstand HG.
Tot slot tekenen we de lijnen van F door G en van E door H, noemen het snijpunt I en mogen ons verbazen dat de lijn door C en I evenwijdig is aan de lijn door A en B. De applet lijkt van Schooten gelijk te geven. Grote vraag is hoe dit mogelijk is.

Wie de constructie wil doorgronden, moet de context van palen in het water loslaten. Daarom is deze opdracht gekunsteld. Belangrijk is dat de verhouding tussen AB en DB gelijk is aan de verhouding tussen AG en HG. Van Schooten gebruikt de verhouding één staat tot éen.

De constructie wordt duidelijk als we de ontbrekende lijnen en punten benoemen. Achtereenvolgens tekenen we vanuit E, van links naar rechts, lijnen door D (met in het verlengde C, door B, door A, door G en door H met I in het verlengde. Gegeven zijn de punten A, B, C en E. Met deze punten zijn de punten D en F vastgelegd. Door C kunnen we een lijn trekken evenwijdig aan BA met daarop een QC als snijpunt met de lijn van A door E. Vanwege de evenwijdigheid hebben de driehoeken FBA en FCQ dezelfde hoeken en zijn dus een vergroting van elkaar. Evenzo zijn EDA en ECQ een vergroting van elkaar. Omdat AD = 2 × AB en omdat de zijde CQ in beide vergrotingen FCQ en ECQ gelijk is, concluderen we dat de vergrotingsfactor van FBA naar FCQ, twee maal zo groot is als die van EDA naar ECQ. De eerste noemen we 2kc en de andere noemen we kc.

CQ = FC = FQ         CQ = EC = EQ
BA FB FA   DA ED EA

Voor de driehoeken FGA en EHA vinden we op dezelfde manier een punt QI en de twee vergrotingen FIQ en EIQ met vergrotingsfactoren 2kI en kI. Volgende stap is om aan te tonen dat de vergrotingsfactoren even groot zijn, want dan hebben we bewezen dat C, QC, QI en I op één lijn liggen en dus evenwijdig aan de lijn door A en B.

Dat vraagt even doorzetten met het rekenen aan verhoudingen.

kc= FQC = 2 EQC   kI= FQI = 2 EQI
FA EA   FA EA

We herschrijven: EA × FQC = FA × EQC en EA × FQI = FA × EQI en vervolgens:

EA = EQC = EQI
FA FQC FQI

en dus moet gelden: QC = QI en dus zijn de vergrotingsfactoren gelijk: kc = kI en dus liggen C en I op een lijn evenwijdig aan AB.

Redenerend vanuit E, A, H en I benoemen we een lijn door I evenwijdig aan AH met QIals snijpunt met de lijn van A door E. Als we bewezen hebben dat QC hetzelfde punt is als QI, dan hebben we bewezen dat de lijn van C naar I evenwijdig is aan die van A naar B.

Tot slot een verklaring bij de titel: perspectief. Als we de constructie 180 graden draaien, de lijn CI de voorgrond noemen en punt E het verdwijnpunt, en als we een tegelvloer leggen met als kruispunten van de tegelvoegen de punten P, Q, R en I op de voorgrond en D, B, A, G en H als die van de tweede rij, dan markeren de lijnen van C naar F en van I naar F de diagonalen van de tegels.