www.fransvanschooten.nl




Toelichting op het bewijs

Frans van Schooten bewees op bladzijde 288 tot en met 291 de werking van een tekeninstrument om ellipsen te maken.
instrument

bewijs (stap 1)

Ook formuleerde hij een verband tussen de oppervlakte van een ellipssegment en de bijbehorende cirkelsegmenten van de ingeschreven en omgeschreven cirkels.
bewijs (stap 20)

Van Schooten verwees naar het werk van Apollonius en Cavalieri. De betreffende proposities zijn opgezocht in Heath en opgenomen in de tekst. Bij drukfouten is de Nederlandse tekst uit 1660 vergeleken met de Latijnse teksten van 1646 en 1657. In 1650 had Van Schooten een briefwisseling met Christiaan Huygens over de methode van Cavalieri. Deze correspondentie is nog niet bestudeerd.
Correspondentie

Van Schooten onderzocht ook eigenschappen van de hyperbool.
bladzijde 306 en 307
bladzijde 308 t/m 310

  

3


Werkstuk

Leerlingen van het Sint Gregorius College in Utrecht hebben van hout, Meccano en Knex werkende tekeninstrumenten gemaakt.

Dit instrument is gemaakt van verfroerstokken, ducktape en een paar boutjes.

2

fotorapportage Sint Gregorius College Utrecht

Alle Schetsen

top
 


Geogebra applet

Gebruik de applet om de schets van deze bladzijde te onderzoeken.

geogebra: ellips

top
 


Schets

Alle afbeeldingen worden vergroot door er op te klikken. Voor de verschillende bewijsstappen zijn aparte afbeeldingen gemaakt waarin de relevante lijnen in kleur geaccentueerd zijn.

Omdat de kwaliteit van het drukwerk van het oorspronkelijke werk uit 1646, De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione beter is dan dat van de "Mathematische Oeffeningen", staat hieronder een schets uit de "De Organica".

2

top
 


Applet

Het instrument werd door Van Schooten op bladzijde 299 behandeld in IV Hoofdstuk. In Moderne Wiskunde editie 10 staat het instrument in opdracht 8 van de ICT paragraaf van keuzeblok 2 van wiskunde B deel 3 voor 6 vwo.


 

Heath

Van Schooten verwees naar het werk van Apollonius en Cavalieri. De betreffende proposities zijn opgezocht in Heath en opgenomen in de tekst.






top
 


Vertaling

Het taalgebruik van Frans van Schooten laat zich niet zonder meer vertalen omdat voor de hand liggende woorden niet in overeen­stemming zijn met hedendaagse definities. Frans van Schooten maakte nog niet gebruik van het cartesisch assenstelsel met loodrechte assen omdat dat nog niet bestond. Bovendien was zijn aanpak meer meetkundig dan algebraïsch. Voor hem waren scheve kegelsneden een uitdaging. Hij is van voor de analytische meetkunde en de affiene meetkunde. Voor hem was een scheef assenkruis heel gewoon, terwijl hedentendage een assenstelsel loodrecht is.

Een ellips en een hyperbool hebben twee symmetrieassen; de hoofdas en de nevenas. De hoofdas wordt ook wel lange as genoemd, of dwarse as, of reële as of axis transversum, dan wel latus transversum. De nevenas wordt ook wel korte as genoemd, of rechte as, of imaginaire as of toegevoegde as of geconjugeerde as. De nevenas staat altijd loodrecht op de hoofdas, vandaar de naam rechte as. Van Schooten gebruikte bij zijn ellipsen meestal twee loodrechte assen, maar liet op bladzijde 303 ellipsen zien met scheve assen. In de uitleg worden zijn dwarse en rechte as vertaald met hoofdas en nevenas. Het snijpunt van beide assen is het centrum. Iedere koorde van de ellips die door het centrum gaat, heet middellijn, of ook wel diameter, omdat het centrum de middellijn in twee deelt.

geogebra: ellips of hyperbool
Wolfram MathWorld: Conic Section
Wikipedia: Conic section


Brandpunten

Een ellips en een hyperbool hebben twee brandpunten. De brandpunten van de ellips liggen op de hoofdas, die van de hyperbool in het verlengde van de hoofdas.

In Moderne Wiskunde (deel 6 vwo wiskunde B) staat het zo: Een ellips met brandpunten F1 en F2 en lange diameter k is de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt d(F1,P) + d(F2,P) = k.
De brandspuntafstand van deze ellips is d(F1,F2).

Een hyperbool met brandpunten F1 en F2 en kortste afstand k is de meetkundige plaats van alle punten P waarvoor geldt dat |d(P,F1) − d(P,F2)| = k.
Een hyperbool heeft twee takken.
Toppen van de hyperbool liggen op lijn door de punten F1 en F2.
Deze lijn is een symmetrie-as van de hyperbool.
De middelloodlijn van de punten F1 en F2 is ook een symmetrie-as.

Moderne Wiskunde op deze website
Wolfram MathWorld: Ellips
Wikipedia: Ellipse


 




Hyperbolen

Frans van Schooten toonde, in navolging van Apollonius, bij voorkeur hyperbolen met scheve "assen". Hij noemde het assen, tegenwoordig noemt men het middellijnen. Daartoe tekende hij parallellogram DFHM. De diagonalen zijn de asymptoten van de hyperbool en de zijden van het parallellogram raken de hyperbool. De diagonalen snijden elkaar in het centrum. Bij Van Schooten is dat meestal punt A. De deellijnen van de asymptoten zijn de symmetrieassen. Omdat de binnen- en de buitendeellijn van twee lijnen altijd loodrecht op elkaar staan, daarom staan ook de symmetrieassen altijd loodrecht op elkaar. Van Schooten trok middellijnen evenwijdig aan de zijden van het parallellogram. De middellijnen gaan door het centrum van het parallellogram. Een ander woord voor middellijn is diameter. Kenmerkend voor een middellijn is dat het alle koorden evenwijdig aan de betreffende zijde van het parallellogram middendoor deelt. Van Schooten noemde deze lijnen vaak EK en LI en noemde ze assen. Hier worden ze middellijnen genoemd, tenzij de lijnen door de constructie loodrecht op elkaar staan, bijvoorbeeld op bladzijde 308, bladzijde 310, bladzijde 325 en verder. Op die bladzijden is de dwarse as daadwerkelijk symmetrieas van de hyperbool. Elders zijn het geen assen omdat ze niet loodrecht op elkaar staan. Van Schooten gebruikte de woorden dwarse as en rechte as, of in het Latijn, transversa diameter en recta autem huic conjugata.

Frans van Schooten tekende bij zijn hyperbolen steeds een parallellogram. Van Schooten bleef dicht bij Apollonius en koos daarom voor scheve lijnen (middellijnen), maar hij had net zo goed lijnen kunnen kiezen die loodrecht op elkaar staan. Een bijzondere eigenschap van de hyperbool is dat er heel veel parallellogram zijn waarvan de diagonalen de asymptoten zijn en de zijden de hyperbool raken. Speciaal is de rechthoek omdat daar de middellijn en deellijn samen vallen. De rechthoek raakt de hyperbool loodrecht in de top van de hyperbool, het snijpunt van de hyperbool met de symmetrieas.

De diagonalen van het parallellogram (de rechthoek) zijn de asymptoten voor twee paar hyperbooltakken. Bij iedere hyperbool hoort een geconjugeerde hyperbool met dezelfde asymptoten en dezelfde assen. De geconjugeerde hyperbool heeft dezelfde assen, maar de hoofdas en nevenas zijn wel verwisseld. Een andere naam voor geconjugeerde hyperbool is toegevoegde hyperbool. Evenzo wordt gesproken over middellijn en geconjugeerde middellijn, of over reële middellijn en imaginaire middellijn.

Voor elke hyperbool geldt dat de oppervlakte van ieder parallellogram even groot is als de oppervlakte van de rechthoek.

Frans van Schooten: bladzijde 306 en verder
Wolfram MathWorld: Hyperbola
Wikipedia: Hyperbola


 



Latus Rectum

De parameter, in het latijn latus rectum, is een bijzonder eigenschap van een ellips of hyperbool. De parameter is de lengte van de koorde door het brandpunt evenwijdig aan de nevenas. Van Schooten kende uit het werk van Apollonius het verband tussen de lengte van twee middellijnen en de parameter. Apollonius introduceerde in propositie 11 het begrip "latus rectum" als een parameter van de "ordinates". De ordinates zijn bij een ellips de assen en bij een hyperbool de asymp­toten. In de tekeningen van Heath is PL de latus rectum, bij Van Schooten is dat KQ. Van Schooten gebruikte dat woord niet in de Nederlandse editie, maar in de Latijnse versie noemde hij op bladzijde 10 KQ zowel de "tertia proportionalis" als de "latus autem rectum principale".
Frans van Schooten werkte met verhoudingen.
Op bladzijde 288 en verder benoemde hij een ellips met middellijnen KL en GP en parameter KQ.
Daar is KQ de derde evenredige van LK en GP:
LK=GP
GPKQ
.
 
Op bladzijde 306 en bladzijde 308 benoemde hij hyperbolen met middellijnen EK en LI en parameter KQ.
Daar is KQ de derde evenredige is EK en LI:
EK=LI
LIKQ
. In het Nederlands noemde Frans van Schooten parameter KQ een zijde of ook wel "voornaemste rechte syde". Meetkundig geredeneerd is het product van twee lijnstukken een oppervlakte, een parallellogram of een rechthoek, en die hebben zijdes. In de verhouding
LI
KQ
noemde Van Schooten KQ een zijde en dus noemde hij ook LI een zijde. In de verhouding
EK
LI
noemde Van Schooten EK een as (middellijn) en dus noemde hij ook LI een as (middellijn).


Wolfram MathWorld: Latus Rectum
Wikipedia: Conic section


 



top
 


transcriptie

uitleg bij de transcriptie

extra uitleg

1

Ick kome weder totter eerste instrument / hier boven beschreven / dat is / ick verdencke wederom / dat in eenig Vlack de liniael AB om het vaste punt A beweecht wort / en dat aen dese in B een ander liniael BED vast gemaeckt is / dewelcke om het selve in 't voorsz vlack even-eens beweegt kan worden. Hier na nemende wyders in BD eenig punt E, naer gevallen / tussen B en D, of oock in deselve buyten D verlengt zijnde ; soo zij / als vooren / BD ghelijck AB: Dan seg ick / soo men 't punt D beweegt langs de rechte AD, dat het punt E door die beweeging op 't selve vlack den omtreck van een ellipsis beschrijven sal / wiens centrum is A, en dwerssche asse gelijck aan 't dobbel van AB, BE, en rechte asse gelijck aen 't dobbel van DE het welck dan te bewijsen is.

  • Gegeven is:
    • vast punt A
    • punt B op vaste afstand van punt A
    • punt D op vaste afstand van punt B met AB = BD
    • de meetkundige plaats van punt D is een rechte lijn door punt A
    • punt E op lijnstuk BD
  • Te bewijzen:
    • de meetkundige plaats van punt E is een elllips
    • het centrum van de ellips is punt A
    • de lengte van de hoofdas is het dubbele van AB + BE
    • de lengte van de nevenas is het dubbele van DE

Algemener gezegd: de lengte van de nevenas is het dubbele van AB − BE, waarbij afhankelijk van de configuratie de lengte van BE positief dan wel negatief is. (zie stap 18)

Rechte lijn AD wordt niet als zodanig benoemd.

Met AB = BD wordt op deze website bedoeld |AB| = |BD|, de lengte van beide lijnstukken zijn even lang.

2

Want aengesien AB beweeghlijck gestelt wort om A, soo is openbaer / indien men eenig punt neemt in AB, of in deselve verlengt / waer 't valt / het welck men met AB om A gelijck verdenckt beweegt te worden / dat dan 't selve een Circkels omtreck beschrijven sal.

De meetkundige plaats van ieder punt op lijnstuk AB is een cirkel.

3

Hierom dan ghenomen hebbende het punt F, sulcx dat BF soo groot zij als BE, soo laettet selve beschrijven de Circkels omtreck FGP. Wyders soo zy de rechte GAP rechthoeckig op AD, snijdende den omtreck deses circkels in G en P,

Punt F op lijn AB met BE = BF.
De meetkundige plaats van punt F is een cirkel. Punten G en P liggen op de lijn loodrecht op lijn AD en op de cirkel om punt A door punt F,


zodat AG = AP = AF.

3

4

Want door dien BF gelijck genomen is aen BE, en AB gelijck BD: soo sal oock de rest AF aen de rest DE gelijck zijn / en alsoo GAP gelijck het dobbel van DE.

Omdat AG = AF en AF = AB −AF en AB =BD en BE = BF daarom GA = BD − BE dus GA = DE. Conclusie is dat GAP = 2 × (BD − BE) oftewel GAP = 2 × DE.

In stap 18 wordt duidelijk waarom de eerste conclusie algemeen is en de tweede specifiek voor deze configuratie.

5

Hier na soo zij AB verlengt tot I, tot dat BI zo gelijck BE en beschrijft uyt A in de wijtte AI de circkels omtreck LIK, snijdende AD in L en K: en sal alsoo LK de dwersse asse der Ellipsis wesen.

Punt I in verlengde op lijn AB met BE = BI.
De meetkundige plaats van punt I is een cirkel. Punten K en L liggen op de lijn loodrecht op lijn AD en op de cirkel om punt A door punt I,


zodat BE = BF = BI.
 
zodat AI = AK = AL.

3

6

Aengesien AI gelijck is aen AB, BE, en alsoo LAK gelijck aen 't dobbel van AB, BE.

Omdat AK = AL = AB + BE, daarom LAK = 2 × (AB + BE).

7

Want treckende of verlengende EF, tot datse AG snijt in M: soo sal deselve a even-wydig zijn met AD, en recht-hoeckig op AG.

Omdat
BF=BE
ABBD
, daarom is in ∆ABD volgens de tweede propositie uit het zesde boek a EF evenwijdig aan AD en omdat AG loodrecht staat op AD, daarom staat ook EF loodrecht op AG.

a:

8

Insgelijcx treckende of verlengende IE, tot datse AD snijde in N: soo sal oock dese perpendiculaer zijn op AD.

Van Schooten geeft geen bewijs voor deze bewering.

Volgens de omgekeerde stelling van Thales (als punt E op de cirkel met middellijn FBI ligt, dan is ∆FEI een recht­hoekige driehoek.
Daarom staat IE loodrecht op FE en dus ook loodrecht op AD.
9

Eyndelijck treckende FO even-wijdig met INE, snijdende AD in O

Punt O is het snijpunt van AD met de lijn door F evenwijdig aan INE.

10

soo laet tot de assen LK, GP gevonden worden de derde even-reednige KQ.

Van Schooten bepaalde hier de derde evenredige van LK en GP:
LK=GP
GPKQ

In de vergelijking
a = x
x b
is x de middelevenredige en is b de derde evenredige.

Apollonius bewees in propositie 15 dat de lengte van die latus rectum de derde evenredige (third proportional) is. Dat is de reden waarom Van Schooten op deze plaats in het bewijs lijnstuk KQ opnam.
In de volgende alinea verwees Van Schooten naar propositie 21 en daar had hij die latus rectum nodig.

11

Aengesien dan b wegens de gelijckformicheyt der driehoecken AFO en AIN, FO is tot FA, als NI tot IA;

Omdat ∆AOF en ∆ANI even grote hoeken hebben, daarom zijn ze gelijk­vormig zijn en dus zijn volgens de vierde propositie uit het zesde boek b alle overeen­komstige zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd:
FO=NI
FAIA

b:

12

soo sal mede overandert c FO tot NI zijn/ als FA tot IA, ofte het d dobbel van FA, dat is / GP, tot het dobbel van IA, dat is / LK;

Verwezen wordt naar de 15de en 16de propositie uit het vijfde boek van Euclides.
FO=FA=GP
NIIALK

c:

d:

13

en dienvolgende oock e het quadraet FO tottet quadraet NI, gelijck het quadraet GP tottet quadraet LK. En nadien / wegens de proportionale KQ, GP, en LK, f 't quadraet GP is tottet quadraet LK, als KQ tot LK: so sal mede 'tquadraet FO, dat is / 't quadraet NE, zijn tottet quadraet NI, als KQ tot LK.


Omdat
FO=GP
NILK
 (stap 12)
daarom
FO²=GP²
NI²LK²
.
Omdat
LK=GP
GPKQ
 (stap 10)
daarom
GP²=KQ
LK²LK
.
Omdat FO = NE daarom
NE²=KQ
NI²LK
.

Omdat ON evenwijdig is aan EF, daarom is vierhoek ONEF een parallellogram en dus is FO = NE.

e:

f:

14

Nu is g 't quadraet NI gelijck 't vierkant LNK. Waerom dan oock het quadraet NE tottet vierkant LNK zijn sal / als KQ de rechte zijde des figuers / tot LK, de dwersche syde.

Punt Y in het verlengde van NI met NI = NY en AI = AY. De punten I, Y, K en L liggen op één cirkel. Daarom is volgende de 35ste propositie uit het derde boek g LN × NK = NI × NY = NI².
Omdat
NE²=KQ
NI²LK
 (stap 13)
daarom
NE²=KQ
LN × NKLK
.

g:

15

En blijckt also h dattet punt E, in den omtreck van een Ellipsis valt / wiens uytterste diameters of assen zijn LK en PG; en welckers voornaemste rechte syde / dat is / die tot de asse LK behoort / is KQ.

 
 
"voornaemste rechte syde" is een heel letterlijke vertaling van "latus rectum". In de kegelsneden is dat een heel bijzonder lijnstuk. Het is beslist niet een van de assen, diameters, van de ellips.


Van Schooten verwijst naar propositie 21 h van Apollonius. Daar staat dat in een ellips (en ook een hyperbool) geldt dat
NE²= constant
LN × NK
en dat die constante het quotiënt is van de latus rectum, KQ, en de lange diameter, LK, oftewel:
constante =KQ
LK
.
Omdat deze betrekking in de vorige stap bewezen is, daarom is de meetkundige plaats van punt E een ellips.

In moderne algebra met x en y staat er dat y² iets van x² is, waarbij x = AN en y = EN:

y²= GP²x(x + AK)
LK

 

3

16

Nu aengesien dit alsoo in't oneyndig plaets heeft ontrent alle andere rechte NE, die van de asse LK in tween gelijck gedeelt worden / in yder ander gestalt des Instruments: soo volgt dattet punt E door die beweeging rontsom de uytterste diameters of assen KL, GP op't vlack den omtreck van een Ellipsis beschrijven sal. Het welck te bewijsen was.

Dit bewijs is niet alleen geldig voor het gegeven punt N, maar voor willekeurig ieder punt N.

Van Schooten gebruikte hier het woord "oneyndig" voor het eerst. Op de volgende bladzijde verwees hij naar de stelling der ondeelbare van Cavalerie. Het zou dus kunnen dat Van Schooten iets bedoelde met oneindig klein. Omdat op de volgende bladzijden het woord "oneyndig" gebruikt wordt zonder verwijzingen naar Cavalerie, is mijn interpretatie dat Van Schooten bedoelde "voor ieder punt N en dat daar oneindig veel van zijn.
Op bladzijde 290 gebruikte Van Schooten de letter n om een willekeurig punt N aan te duiden.
17

En gelijck dit gebeurt ontrent het punt E, … … sulcx dat wy hier geen ander bewijs behoeven.

Dit bewijs is niet alleen geldig voor het gegeven punt E, maar voor willekeurig ieder punt E, ongeacht of het op lijnstuk BD ligt, dan wel in het verlengde van BD.

18

In voegen / soo 't punt E weder-zijds van B even-ver af-gelegen waer / dan daer oock gelijcke en gelijckformige Ellipses, doch dewelcke anders om gekeert staen / souden beschreven worden.

Als punt E' op gelijke afstand staat van punt B als punt E, maar dan aan de andere kant, dan is de meetkundige plaats een even grote, gelijkvormige ellips ellips, maar dan een kwart slag gedraaid.


Als punt E aan de andere kant staat, onstaat weliswaar ook een ellips, maar as LK is nu de nevenas en as GP is nu de hoofdas. De lengte van BE zou dus eigenlijk negatief moeten zijn. De formules voor de lengte van de assen blijven ongewijzigd:

  • de lengte van de nevenas is het dubbele van AB − BE
  • de lengte van de hoofdas is het dubbele van AB + BE

Als je wilt zien wat er gebeurt als punt E gespiegeld wordt in punt D, kan Geogebra starten om het resultaat zelf te zien.

geogebra

3

19

Eyndelijck soo is te weeten / datmen niet alleen door 't beweegen van 't punt D langs de liny AD halve Ellipses beschrijft / maer oock geheele / indien men alleen de linialen AB, BED na d'ander syde van AD omkeert.

Door punt D over dezelfde lijn te bewegen met de linialen aan zowel de ene als de ander zijde, ontstaat de volledige figuur van de ellips.

20

Aengesien boven betoont is dat FO, dat's NE, is tot NI, als GP, dat is, de rechte asse, tot LK, dat is, de dwersche asse der Ellipsis; en dit alsoo in't oneyndig openbaer zy van alle andre rechte ne, ni, die soo in d'Ellipsis LGKP als in de Cirkel LkKl van de asse LK in tween gelijck gedeelt worden: soo volgt i dat d'ellipsis LGKP is tot de Cirkel LkKl, als oock het stuck der Ellipsis EeV tot het stuck des Circkels IiY, gelijck de rechte asse GP tot de dwersse asse LK.

Omdat
FO = NE = GP
NI NI LK
 (stap 12)
daarom is volgens Cavalerie voor ieder lijnstuk evenwijdig aan EV een lijnstuk nei waarvoor de verhouding tussen de lengtes van ne en ni gelijk is aan die tussen de lengtes van GP en LK, dus ook voor lijnstuk YVNEI. Dus verhouden de oppervlaktes van het deel van de ellips en de cirkelboog zich op de zelfde manier tot elkaar.
GP = ne = opp. LGKP = opp. EeV
LK ni opp. LkKl opp. IiY

 


Van Schooten begon hier een nieuw bewijs zonder introductie. In stap 28 staat wat hij wilde bewijzen: De oppervlakte van een ellipssegment is de middelevenredige van de oppervlakte van het grote en het kleine cirkelsegment, dat wil zeggen van het cirkelsegment van de omgeschreven en van de ingeschreven cirkel.

3



In 2005 heb ik een essay geschreven over Cavalieri en zijn "indivisibles" voor het vak "Geschiedenis van de Wiskunde".
Op de rand van oneindigheid

21

Insgelijcx dewijl de gantsche nε tot de gantsche ni is, als de afgetrocke nF tot de afgetrocke nr: soo sal oock k de rest Fε tot de rest ri zijn, als de gantsche nε tot de gantsche ni /dat is, als de rechte asse GP tot de dwerssche LK.

 
Hier is sprake van een zetfout want bedoeld wordt "als de afgetrocke nr tot de afgetrocke nF". Ook in de Latijnse versies van 1646 en 1657 staat gedrukt "eadem est ratio quæ ablatæ nF ad ablatæ nr".


Omdat
GP = NE =
LK NI ni
(stap 20)
en
= nF + 
ni nr + ri
(door de constructie).
en nF = NE en nr = NI
daarom
= NE = NE + 
ni NI NI + ri

en daarom k
NE =
NI ri

en dus
= nF = = GP
ni nr ri LK


Hier had Van Schooten meer woorden mogen gebruiken om te verduidelijken wat hij van de tekening gebruikte. In stap 20 benoemde hij lijn nei evenwijdig aan lijn GP. Hier ging hij verder met lijn nFεri evenwijdig aan GP met nF = NE en nr = NI. Door de constructie  = nF +  en ni = nr + ri.


k:

Deze propositie stelt dat als
A=A + C
BB + D
dat dan A(B + D) = B(A + C) en dus A × B + A × D = A × B + B × C en dus A × D = B × C en dus
A=C
BD

3

22

En alsoo dit in't oneyndig openbaer is van alle andre rechte Fε, ri in het stuck der Ellipsis EεX en des Circkels IiZ: soo machmen op gelijcke wijz besluyten l dat het stuck der Ellipsis EεX is tot het Circkelstuck IiZ, als de rechte asse GP tot de dwersse LK.

Bovenstaande geldt voor ieder punt i op cirkelboog IiZ, dan wel punt ε op de ellips tussen de punten E en X en dus is volgens Cavalieri l
opp. ellips EεX = GP
opp. cirkel IiZ LK


3

23

Mede soo volgt, m wegens de gelijckformigheyt der triangulen AFO, AIN, dat AO is tot AF, als AN tot Al; en onverandert n AO tot AN, dat is, MF tot ME, als AF tot AI of GP tot LK: en derhalven MF tot ME, als de rechte asse GP tot de dwersse LK.

Omdat ∆AFO gelijkvormig m is aan ∆AIN en omdat AO = MF en AN = ME daarom n
GP = AF = AO = MF
LK AI AN ME


m:

n:

3

24

En aengesien dit nu in't oneyndig blijckt van alle andre rechte mf/mε, die soo in de Circkel pGgP als in d'Ellipsis LGKP van de asse GP in tween gedeelt worden: so volgt o dat de Circkel pGgP is tot de Ellipsis LGKP, gelijck oock het Circkel-stuck FfW tot het stuck der Ellipsis EεX, als de rechte asse GP tot de dwersche LK.

Bovenstaande geldt voor ieder punt f op cirkelboog FfW, dan wel punt ε op de ellips tussen de punten E en X. Volgens Cavalerie is er voor ieder lijnstuk mf evenwijdig aan MF een lijnstuk waarvoor de verhouding tussen de lengtes gelijk is aan die tussen de lengtes van GP en LK. Dus o verhouden de oppervlaktes van het deel van de ellips en de cirkelboog zich op de zelfde manier tot elkaar.

opp. cirkel pGgP = opp. cirkel FfW = GP
opp. ellips LGKP opp. ellips EεX LK


3

25

Vorders alsoo mf tot me, de gantsche tot de gantsche, deselve reden heeft, als de af-getrockene mR tot de af-getrocke mS: soo sal oock p de rest Rf tot de rest Se deselve reden hebben, als de gantsche mf tot de gantsche me, dat is, als de rechte asse GP tot de dwersse LK.

Omdat
GP = MF = mf = mR + Rf
LK ME me mS + Se

en omdat mR =  = MF
en omdat mS = ME = AN
daarom
Rf = GP
Se LK


p:

3

26

En aengesien dit mede in't oneyndig blijckt van alle andere rechte Rf, Se in't stuck des Circkels FfT en der Ellipsis EeV: soo staet insgelijcx te besluyten q dathet Circkel-stuck FfT is tot het stuck der Ellipsis EeV, als de rechte asse GP tot de dwersche LK.

Volgens Cavalerie is er voor ieder lijnstuk Rf evenwijdig aan ME een lijnstuk Se.
Omdat
Rf = GP
Se LK
, daarom q verhouden de oppervlaktes van het deel van de ellips en de cirkelboog zich op de zelfde manier tot elkaar.
 
opp. cirkel pGgP = opp. cirkel FfT = GP
opp. ellips FfT opp. ellips EeV LK


3

27

Aengesien dan bewesen is, dat de Circkel pGgP is tot de Ellipsis LGKP, en oock het Circkel-stuck FfW tot het stuck der Ellipsis EεX, als de rechte asse GP tot de dwersche LK; en dat mede in deselve reden de Ellipsis LGKP is tot de Circkel LkKl, als oock het stuck der Ellipsis EεX tot het Circkel-stuck IiZ: soo blijckt dat de Ellipsis LGKP is 't middel-proportionael tussen de Circkel pGgP en de Circkel LkKl; gelijck mede dat desselfs stuck EεX het middel-proportionael is tussen de Circkel-stucken FfW en IiZ.

Uit stap 24:

opp. cirkel pGgP = opp. cirkel FfW = GP
opp. ellips LGKP opp. ellips EεX LK

 

Uit stap 20:

opp. ellips LGKP = opp. ellips EeV = GP
opp. cirkel LkKl opp. cirkel IiY LK

 

Uit stap 22:

opp. ellips EεX = GP
opp. cirkel IiZ LK

daarom:

opp. cirkel pGgP = opp. ellips LGKP
opp. ellips LGKP opp. cirkel LkKI

en ook:

opp. cirkel FfW = opp. ellips EεX
opp. ellips EεX opp. cirkel IiZ

In de vergelijking
a = x
x b
is x de middelevenredige en is b de derde evenredige.
28

Insgelijcx, nademael wy betoont hebben, dat het Circkel-stuck FfT is tot het stuck der Ellipsis EeV, als de rechte asse GP tot de dwersche LK; en dat mede in deselve reden het stuck der Ellipsis EeV is tot het Circkel-stuck IiY: soo blijckt van gelijcken dat het stuck der Ellipsis EeV is het middel-proportionael tussen de Circkel-stucken FfT en IiY. 't Welck wy dan voor-genomen hadden hier te betoonen.

Uit stap 26:

opp. cirkel FfT = GP
opp. ellips EeV LK

 

Uit stap 20:

opp. ellips EeV = GP
opp. cirkel IiY LK

 

Conclusie is dat de oppervlakte van het ellipssegment de middelevenredige is van de oppervlaktes van het grote en het kleine cirkelsegment.

opp. cirkel FfT = opp. ellips EeV
opp. ellips EeV opp. cirkel IiY


3

Modern geformuleerd staat hier dat de oppervlakte van de hele ellips de wortel is van het product van de oppervlakte van de grote en de kleine cirkel.
opp. ellips =
π AL² π AP²
 = π × AL × AG

De oppervlakte van een ellipssegment is de wortel uit het product van de oppervlaktes van de bijbehorende grote en kleine cirkelsegmenten. De eerste conclusie is vrij triviaal, maar de tweede conclusie is minder voor de hand liggend.


Van Schooten over Cavalieri

Andersen schreef in 1985 in Cavalieri's Method of Indivisibles (zie Archive for History of Exact Sciences, Volume 31, Number 4 / December, 1985 dat Frans van Schooten in 1650 aan Huygens liet weten dat hij positief stond tegen de techniek van Cavalieri. (zie Oevres, September 27, 1650).

TORRICELLI'S way of employing indivisibles was accepted by many of his colleagues; their confidence in his work is illustrated in a letter FRANS VAN SCHOOTEN wrote to CHRISTIAAN HUYGENS September 27, 1650 (HuYGENS Oeuvres, vol. 1, pp. 130-132). In this letter VAN SCHOOTEN commented upon some examples HUYGENS had composed to warn against the use of "CAVALIERI'S principles" (ibid., p. 131). VAN SCHOOTEN found that HUYGENS was too sceptical and that one should not be afraid of building something on these principles as long as it was done as TORRICELLI had done in his demonstrations.

DBNL stelt de correspondentie van Christian Huygens online beschikbaar. Gallica stelt de Oevres online beschikbaar, maar de kwaliteit is minder.

5

DBNL brief 85

5

DBNL brief 85

5

DBNL brief 86

5

DBNL brief 86

5

DBNL brief 87


Voetnoten bij bladzijden 289 tot en met 291.

Frans van Schooten gebruikt de "stelling der ondeelbare" van Cavalieri op verschillende plaatsen in de "Mathematische Oeffeningen", bijvoorbeeld op bladzijde 420 en 421.
bladzijde 420 Van de vierkanting der Parabole.

 


Verwijzingen

Gebruik is gemaakt van onderstaande literatuur en internetbronnen als PDF's.

Frans van Schooten, De organica conicarum sectionum in plano descriptione, tractatus. Geometris, opticis; praesertim vero gnomonicis & mechanicis utilis, Cui est Appendix, de Cubicarum Æquationum resolutione. Lugd. Batavor. Ex. Officina Elzeviriorum. AO MDCXLVI, 1646, Leiden, Elzeviriorum
Frans van Schooten, Exercitationum mathematicarum libri quinque, 1657, Leiden, Elzeviriorum
M.N. Fried, S. Unguru, Apollonius of Perga's Conica, 2001, Leiden, Brill
T.L. Heath, Apollonius of Perga, treatise on conic sections, Cambridge 1896, (PDF)
idem (PDF text)

J.L. Heiberg, Apollonii Pergaei quae Graece exstant Opera, Leipzig (Teubner) 1891
H. Hietbrink, Op de rand van oneindigheid, essay over Cavalieri en zijn "indivisibles" voor het vak "Geschiedenis van de Wiskunde".
J. Hogendijk, Kegelsneden in de Griekse oudheid in: A. Grootendorst (ed.) Vakantiecursus kegelsneden en kwadratische vormen, CWI Syllabus no. 40, Centrum voor Wiskunde en Informatica (Amsterdam 1995), pp. 1-14.
b. Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota
idem (GoogleBooks)
idem (ECHO)

K. Andersen, Cavalieri's method of indivisibles, Archive for History of Exact Sciences, Volume 31, Number 4 / December, 1985
P. Palmieri, Cavalieri's practice of mathematics, Archive for History of Exact Sciences, Volume 63, Number 5 / September, 2009
J. Rutgers, Meetkunde der Kegelsneden, Groningen 1939