www.fransvanschooten.nl

Toelichting op het bewijs

Frans van Schooten maakte een instrument om hyperbolen te tekenen en gaf ook het bewijs waarom zijn instrument een hyperbool produceert. Van Schooten verwees naar het werk van Apollonius en Cavalieri. De relevante passages zijn opgezocht in de vertaling van Heath.

De toelichting op het Byvoegsel van bladzijde 308 tot en met 310 staat op een aparte webpagina.
Byvoegsel

Omdat op de tekeningen op bladzijde 307 het punt ε ontbreekt, is teruggegrepen op het oorspronkelijke werk uit 1646, De Organica Conicarum Sectionum. Het karakter ε is daar goed zichtbaar. Ook is de Nederlandse tekst uit de Mathematische Oeffeningen, 1660, op drukfouten vergeleken met deze Latijnse versie.

Van Schooten onderzocht ook eigenschappen van de ellips.
bladzijde 288 t/m 291

3


Geogebra applet

Gebruik de applet om de schets van bladzijde 307 te onderzoeken.
geogebra 307

Descartes heeft een soortgelijk instrument, een hyperbolograaf, beschreven op bladzijde 321 van La Geometrie (1637). Frans van Schooten maakte in 1646 een ander instrument maar benutte dezelfde eigenschappen van de hyperbool. Hieronder staan foto's van een met meccano nagemaakt instrument.
geogebra Descartes

3

3

Toelichting

De vorm en positie van parallellogram DFHM met centrum A kun je veranderen door de punten D en E te verplaatsen.
Met deze drie punten ligt de positie van het parallellogram vast.
Lijn is, door de constructie, evenwijdig aan diagonaal AM.
Te bewijzen is dat lijn cG evenwijdig is aan lijn DE.
De diagonalen AD en AM zijn de asymptoten van de hyperbool.
De meetkundige plaats van het punt ε is de hyperbool.
De punten ε en e liggen op lijn cG en beide op de hyperbool.
Te bewijzen is dat || = |eG|.
Lijn EA is de as van de hyperbool: daarop liggen de middens van alle lijnstukken εe die evenwijdig aan LI zijn.

Gebruik de reset-button rechtsboven om de applet overnieuw te starten in de uitgangspositie.
Gebruik Ctrl-F om oude sporen te wissen.

La Geometrie

In 1649 verscheen Geometria a Renato Des Cartes, anno 1637 gallice edita waarin Frans van Schooten zijn commentaren publiceerde. Op bladzijde 186 staat de bijbehorende illustratie.

Verwijzingen

R. Descartes, Geometria a Renato Des Cartes, anno 1637 gallice edita, Leiden 1649
J.H. Glazemaker, Proeven der wysbegeerte of redenering van de middel om de reden wel te beleiden, en de waarheit in de wetenschappen te zoeken; de verregezichtkunde, verhevelingen, en meetkunst, Amsterdam 1659
W. Wilhelm, Meetkunde René Descartes, Eburon 2009

Toelichting

Gegeven lijn AG, staat zijde KL van rechthoekige driehoek KLN loodrecht op lijn AG en is zijde LN evenwijdig aan lijn AG.
Gegeven de lengte van zijde KL en LN,
voor iedere driehoek KLN is punt C het snijpunt van lijn KN en lijn LG.
Descartes betoogde dat de meetkundige plaats van punt C een hyperbool was.

Gebruik de reset-button rechtsboven om de applet overnieuw te starten in de uitgangspositie.
Gebruik Ctrl-F om oude sporen te wissen.


Schets

Alle afbeeldingen worden vergroot door er op te klikken. Voor de verschillende bewijsstappen zijn aparte afbeeldingen gemaakt waarin de relevante lijnen geaccentueerd zijn.

Omdat de kwaliteit van het drukwerk van het oorspronkelijke werk uit 1646, De Organica Conicarum Sectionum beter is dan dat van de Mathematische Oeffeningen, staat hieronder een schets uit de De Organica Conicarum Sectionum.

2


 

Met dank aan …

Op verzoek van J. Dopper is deze uitleg van bladzijde 306 t/m 310 gemaakt. Met hulp van J. Hogendijk en A. Goddijn is het bewijs gereconstrueerd.

Descartes

In La Geometrie (1637) staat een hyperbolograaf beschreven. Frans van Schooten maakte in 1646 een ander instrument maar benutte dezelfde eigenschappen van de hyperbool. Hieronder staan foto's van een met meccano nagemaakt instrument.


Verwijzingen

Gebruik is gemaakt van onderstaande literatuur en internetbronnen als PDF's.

Frans van Schooten, De organica conicarum sectionum in plano descriptione ..., 1646, Leiden, Elzeviriorum,
Frans van Schooten, Exercitationum mathematicarum libri quinque, 1657, Leiden, Elzeviriorum
M.N. Fried, S. Unguru, Apollonius of Perga's Conica, 2001, Leiden, Brill
T.L. Heath, Apollonius of Perga, treatise on conic sections, Cambridge 1896, (PDF)
idem (PDF text)

J.L. Heiberg, Apollonii Pergaei quae Graece exstant Opera, Leipzig (Teubner) 1891
H. Hietbrink, Op de rand van oneindigheid, essay over Cavalieri en zijn "indivisibles" voor het vak "Geschiedenis van de Wiskunde".
J. Hogendijk, Kegelsneden in de Griekse oudheid in: A. Grootendorst (ed.) Vakantiecursus kegelsneden en kwadratische vormen, CWI Syllabus no. 40, Centrum voor Wiskunde en Informatica (Amsterdam 1995), pp. 1-14.

top
 


Applet

Het instrument werd door Van Schooten op bladzijde 311 behandeld in VII Hoofdstuk. Het ontbreekt in de ICT paragraaf van Moderne Wiskunde editie 10 keuzeblok 2 van wiskunde B deel 3 voor 6 vwo. Hieronder staat een applet die de linkerhyperbooltak tekent. Door de prikpennen te verplaatsen kan de applet ook de rechterhyperbooltak tekenen. Probeer ook de geconjugeerde hyperbooltakken te tekenen!


 

transcriptie

uitleg bij de transcriptie

extra uitleg

1

Laten de linien EK en LI malkander in't punt A in tween gelijck deelen / en door de punten L en I even-wydige linien getrokken worden met EK, tot datse met de linien / getrocken door de punten E en K even-wydig met LI, t'samen komen in D, F, H, en M, en het even-wydige vierkant DFHM maecken / waer van beyde diameters DF DH en FM weder-zijdts in't oneyndig zijn verlengt. Hier na gedeelt hebbende AD in twee gelijcke deelen in B, so treckt BE, en maeckt den hoeck dbε gelijck aen den hoeck DBE in d'1ste en 2de figuer / of aen den hoeck ABE in de 3de of 4de figuer; waer van d'een hoeck-syde bd gelijck gemaeckt zy aen BD, en d'ander bε naer ε sonder bepaling verlengt zy / en aen welcken hoeck wyders in't punt d een liniael vast gemaeckt zy / als dE, die insgelijcx aen d'een en d'ander syde onbepaelt is / en om d sonder beletsel op het vlack draeyen kan.
Het welck dus gestelt zijnde / indien wy verdencken dat desen hoeck met d'een syde db beweegt wort op het vlack langs AD, en dat de liniael dE doorgaens passeert door 't punt E, en bε in ε doorsnijt: so sal het punt ε door die beweging een Hyperbola beschrijven / wiens centrum zy A, en dwersse diameter KE, maer die met dese t'samen gaet LI, en van welcke Hyperbolen de Asymptoti ofte noyt t'samen/komende zijn DAH en MAF.
Om īt welck te bewijsen / soo laet door ε ghetrocken worden cεG even-wydig met DM, door-snijdende DH en FM in c en G.

  • Gegeven is:
    • parallelogram DFHM
    • punt A is het snijpunt van de diagonalen DH en FM.
    • punten I, K, L en E zijn de middens van de zijden DF, FH, HM en DM.
    • punt B is het midden van lijnstuk AD.
    • driehoek bdε met bd = BD,
      met punten b en d op BD,
      met ∠dbε = ∠DBE,
      met punt ε op zijde dE.
    • lijn cεG is evenwijdig aan lijn DM,
      met punt c op lijn DH en met punt G op lijn FM.
  • Te bewijzen:
    • de meetkundige plaats van punt ε is een hyperbool.
    • lijnen DAH en FAM zijn de asymptoten van de hyperbool.
    • lijnstuk KE is de hoofdas.


3

Met de drie punten A, D en E liggen de overige punten van het parallellogram vast, want de hoekpunten van het parallellogram DFHM zijn puntspiegelingen:
punt M is puntspiegeling van punt D in punt E,
punt H is puntspiegeling van punt D in punt A en
punt F is puntspiegeling van punt M in punt A.

Het parallellogram is cruciaal voor een goed begrip van het bewijs. Frans van Schooten verwees naar Apollonius en daar werd de betekenis van het parallellogram uitgelegd. Hieronder staat de schets uit Heath Apollonius of Perga, treatise on conic sections. Een hyperbool bestaat uit twee hyperbooltakken. De diagonalen van het parallellogram zijn de asymptoten voor twee paar hyperbooltakken. Bij Frans van Schooten was EK de hoofdas en LI de nevenas.

Belangrijk is ook het begrip "latus rectum" voor lijnstuk KQ, maar daarover later meer (zie stap 11). Opvallend is dat KQ niet, zoals gebruikelijk, loodrecht op EK getekend is.

Lees de toelichting bij bladzijde 288

3

Nb: zijde is evenwijdig aan lijn AM en dus ook evenwijdig aan zijde BE en dus ook ∠dbε = ∠DAM.

2


Aengesien dan a bc tot Ab is / als cε tot εG: soo sal oock vergadert b Ac tot Ab zijn / als cG tot εG; en overandert c Ac tot cG, als Ab tot εG. Nu gelijck Ab tot εG is / alsoo is d (neemende cε voor gemeene hoochte) 't vierkant van Ab, cε tottet vierkant van cε, εG;

Omdat a
bc=
AbεG

en ook b
Ac=cG
AbεG

en dus c
Ac=Ab
cGεG

en ook d
Ab=Ab × 
εG × εG


a:

b:

c:

d:


Dit omdat ∆AcG gelijkvormig c is met ∆bcε vanwege de gelijke lijnen en evenwijdig aan AG.

3


Hieruit volgt:
Ab=εG
bc

en ook
Ab=εG
AccG

en ook
Ac=cG=AG
bc

en ook
cG=εG=
AcAbbc
3

en gelijck Ac tot cG, alsoo is e BD tot DE, of f (nemende DE voor gemeene hoochte) 't vierkant van BD, DE tottet quadraet DE.

Ac=BD=BD × DE
cGDEDE²


e:

f:


Omdat ∆AcG gelijkvormig is met ∆ADM en met ∆BDE vanwege de overstaande hoek A en lijn cG evenwijdig aan lijn DM en lijn AG is evenwijdig aan lijn BE.

3


Hieruit volgt:
BD=DE=BE
ADDMAM

en ook
BD=AD=bc=Ac=Ab
DEDMcGεG

en ook
AM=AD=DM
AGACcG
4

Daerom dan g het vierkant van Ab, cε tottet vierkant van cε, εG zijn sal / alsset vierkant van BD, DE totter quadraet DE.

Ab × =BD × DE
 × εGDE²

g:


volgt uit stap 2 en stap 3.

5

Nu is h het vierkant van Ab, cε soo groot alsset vierkant van BD, DE, dewijl i Bd, dat's / Ab, tot bd, dat's / DB, is / als DE tot cε.

Omdat Bd = Ab
en omdat bd = DB
daarom i
Ab=DE
BD

en dus h Ab ×  = BD × DE.


h:

i:


Belangrijk te weten is dat figuur 1 de vergroting minder duidelijk in beeld brengt dan figuur 2.
Uit figuur 2 haalt van Schooten dat ∆dBE een vergroting is van ∆dbε, want gegeven is dat EB // AM en AM // , dus is BE // , want gegeven is dat cεG // DM, dus is // DE.

3

Hieruit volgt:
Bd=BE=DE
bd
.
Omdat bd = BD = AB, (gegeven)
en omdat Bd = Ab (want Ab  + bd = AB + Bd),
daarom
Bd=Ab=DE
bdBD
,
en dus Ab ×  = BD × DE.
6

Daerom dan oock k 't vierkant van cε, εG soo groot is alsset quadraet DE.

Omdat de tellers even groot zijn, daarom k zijn de noemers dat ook:  × εG = DE².


k:

7

En blijckt alsoo l dattet punt ε in een Hyperbola valt / wiens Asymptoti ofte noyt t'samen-komende zijn DAH en MAF, en dwersse diameter EK, maer de rechte met dese t'samen-gaende LI, en 't centrum A. En alsoo dit in't oneyndig komt te gebeuren ontrent het punt ε, volgens 't geen wy voor-gestelt hebben: soo volgt dat door de geduerige doorsnijding der linien bε, εd het punt ε door die beweging op het vlack een Hyperbola beschrijven sal / wiens diameters zijn EK en LI. Het welck te bewijsen was.

Frans van Schooten verwees naar de tiende propositie l van het tweede boek van Apollonius. Daar staat inderdaad het linkerdeel van de vergelijking:  × εG en rechts een kwadraat. In de vertaling van Heath is het rechterdeel CD² en dat is niet zondermeer wat bij Van Schooten DE² genoemd wordt. Voor het rechterdeel moet elders gezocht worden. Bij propositie 17 staat de afbeelding met het parallellogram en de gezochte diameter. Bij Heath is dat CD en bij Van Schooten is dat AL. In het parallellogram is AL = DE. Daarmee was voor Van Schooten het bewijs rond.

Afdrukken van de vertaling van Heath staan hieronder.

2

2

2






De vergelijking  × εG = DE × DE is kenmerkend voor de hyperbool. Links staan twee termen die van ε afhangen en rechts een term die met de hoofdas te maken heeft.
De algemene vergelijking voor een hyperbool in een cartesisch assenstelsel met x-as en y-as, luidt:

x × y = constant

Deze vergelijking geldt zowel als de y-as loodrecht op de x-as staat, als wanneer de y-as scheef staat. Bij een hyperbool zijn de asymptoten de assen. In de tekening van Van Schooten zijn de lijnen HABD en FAM de asymptoten. Dat de assen niet loodrecht op elkaar te staan, is dus toegestaan.
In punt E geldt dat de waarde van de constante is AB × BE, oftewel BD × BE. In punt ε geldt dan Ab ×  = AB × BE en dus Ab ×  = BD × BE. Omdat ∆BDE een vergroting is van ∆bdε geldt ook Ab ×  = BD × DE. Evenzo, omdat ∆AcG een vergroting is van ∆BDE geldt  × εG = DE × DE. Dit is de betrekking die Van Schooten zocht, want dat is wat hij in het tweede boek van Apollonius gelezen heeft.

3

8

Vorders soo is openbaer / dat / indien wy de liniael dE verleggen / sulcx dat deselve geduerich strecke door het punt K, na datmen den hoeck dbε gekeert heeft na d'ander syde van AD, men alsoo een andre diergelijcke Hyperbola op het vlack / staende tegen over de voorgaende / op de selve wijz beschrijven kan.

Door het instrument 180° te draaien om punt A komen de linialen aan de ander kant van lijn AD met de juiste hoek in punt b. Zo kan de tweede hyperbooltak getrokken worden.

De twee hyperbooltakken zijn draaisymmetrisch in punt A met draaihoek 180°, dat betekent dus puntsymmetrisch in punt A. Alleen in het bijzondere geval dat de assen IK en EL, dan wel de asymptoten AD en FM, loodrecht op elkaar staan is lijn IL symmetrieas.



Voetnoten bij bladzijden 306 en 307.