www.fransvanschooten.nl

Toelichting op het bewijs

Frans van Schooten maakte een instrument om hyperbolen te tekenen en gaf ook het bewijs waarom zijn instrument een hyperbool produceerde. In dit Byvoegsel bewees hij dat de oppervlakte van twee hyperbolensegmenten met gelijke hoofdas zich verhouden naar de lengte van hun nevenas.
bewijs (stap 11)

Ook bewees hij dat de oppervlakte van het scheve hyperboolsegment even groot is als dat van het bijbehorende rechte hyperboolsegment.
bewijs (stap 18)

Van Schooten verwees naar het werk van Apollonius en Cavalieri. De relevante passages zijn opgezocht in de vertaling van Heath.

De tekst die vooraf gaat aan dit Byvoegsel, dat zijn bladzijde 306 en 307, staat op een aparte webpagina.
Voorafgaande tekst

Omdat op de tekeningen op bladzijde 307 wel een punt t zichtbaar is, maar niet het punt ε, daarom is teruggegrepen op het oorspronkelijke werk uit 1646, "De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione". De kwaliteit van dat drukwerk is veel beter. Het karakter ε is daar goed zichtbaar. Ook is de Nederlandse tekst uit de "Mathematische Oeffeningen", 1660, op drukfouten vergeleken met deze Latijnse versie.

Van Schooten onderzocht ook eigenschappen van de ellips.
bladzijde 288 t/m 291

3

3


Geogebra applet

Gebruik de applet om de schets van bladzijde 310 te onderzoeken. De applet lijkt op die van webpagina 307. Experimenteer eerst met geogebra 307 en daarna met geogebra 310.

Geogebra applet

Deze applet hoort bij bladzijde 310 van de Van de Tuych-werckelicke beschrijving der Kegel-sneden op een vlack van Frans van Schooten.

Hieronder staat een uitgebreide toelichting hoe de applet precies werkt.

Kies centrum A en punt L: AL is dan de helft van dwarse zijde LI.
Kies punt E2: AE2 is dan de helft van de dwarse diameter EK van de scheve asymptoot e2E2ε2. De bijbehorende punten van de parallellogrammen liggen daarmee vast. De punten M, M2, E, E2, D en D2 liggen op één lijn, evenwijdig aan lijn LI.

Verplaats punt b langs asymptoot AD. Lijn  is evenwijdig aan lijn AM en punt ε ligt op lijn bE. Het spoor van punt ε is een hyperbool. Via spiegeling in lijn AE wordt punt e getekend. Resultaat is de blauwe hyperbool eEε.
Gelijktijdig beweegt Geogebra punt b2 langs asymptoot AD2,
waarbij punt b2 ligt op de lijn evenwijdig aan lijn LI door punt b.
Vanuit deze punten zijn de driehoeken bdε en b2d2ε2 geconstrueerd.
Zoals punt e de puntspiegeling is van punt ε in het snijpunt van as AE met lijn εε2,
zo is punt e2 de puntspiegeling van punt ε2 in het snijpunt van as AE2 met lijn εε2,
Ook worden ε2 en e2 getekend en ontstaat de groene hyperbool e2E2ε2.
Te bewijzen is dat ook de punten ε en ε2 op één lijn liggen die evenwijdig is aan lijn LI,
evenals de punten b en b2 op één lijn liggen die evenwijdig is aan lijn LI.
Te bewijzen is dat ook de punten e, e2, ε en ε2 op één lijn liggen die evenwijdig is aan lijn LI.
Van Schooten bewees dat || = |e2ε2|.

Gebruik de reset-button rechtsboven om de applet overnieuw te starten in de uitgangspositie.
Gebruik Ctrl-F om oude sporen te wissen.


Schets

Alle afbeeldingen worden vergroot door er op te klikken. Voor de verschillende bewijsstappen zijn aparte afbeeldingen gemaakt waarin de relevante lijnen geaccentueerd zijn.

Omdat de kwaliteit van het drukwerk van het oorspronkelijke werk uit 1646, De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, … beter is dan dat van de "Mathematische Oeffeningen", staat hieronder een schets uit de "De Organica Conicarum Sectionum".

4

4


Verwijzingen

Gebruik is gemaakt van onderstaande literatuur en internetbronnen als PDF's.

Frans van Schooten, De Organica Conicarum Sectionum in Plano descriptione, tractatus. Geometris, opticis; praesertim vero gnomonicis & mechanicis utilis, Cui est Appendix, de Cubicarum Æquationum resolutione. Lugd. Batavor. Ex. Officina Elzeviriorum. AO MDCXLVI, 1646, Leiden, Elzeviriorum,
Frans van Schooten, Exercitationum mathematicarum libri quinque, 1657, Leiden, Elzeviriorum
T.L. Heath, Apollonius of Perga, treatise on conic sections, Cambridge 1896, (PDF)
idem (PDF text)

J.L. Heiberg, Apollonii Pergaei quae Graece exstant Opera, Leipzig (Teubner) 1891
H. Hietbrink, Op de rand van oneindigheid, essay over Cavalieri en zijn "indivisibles" voor het vak "Geschiedenis van de Wiskunde".
J. Hogendijk, Kegelsneden in de Griekse oudheid in: A. Grootendorst (ed.) Vakantiecursus kegelsneden en kwadratische vormen, CWI Syllabus no. 40, Centrum voor Wiskunde en Informatica (Amsterdam 1995), pp. 1-14.


 

Met dank aan …

Op verzoek van J. Dopper is deze uitleg van bladzijde 306 t/m 310 gemaakt. Met hulp van J. Hogendijk en A. Goddijn is het bewijs gereconstrueerd.

top
 


Applet

Het instrument werd door Van Schooten op bladzijde 311 behandeld in VII Hoofdstuk. In Moderne Wiskunde editie 10 ontbreekt dit instrument in de ICT paragraaf van keuzeblok 2 van wiskunde B deel 3 voor 6 vwo. Hieronder staat een applet die de linkerhyperbooltak tekent. Door de prikpennen te verplaatsen kan de applet ook de rechterhyperbooltak tekenen. Probeer ook de geconjugeerde hyperbooltakken te tekenen!


 

transcriptie

uitleg bij de transcriptie

extra uitleg

9

Byvoegsel.

Gelijkerwijs onder het geslacht der Ellipsen de Cirkel mede begrepen, en voor een seeckere soort derselve aengenomen kan worden; te weeten, in welcke de dwersche sijde so groot is als de rechte sijde: so kan het insgelijcx geschieden datter onder het geslacht der Hyperbolen een seeckere soort bepaelt worde, die de simpelste van alle zy, en waer mede men alle de andre kan vergelijcken, dat is, in welcks de dwersche en rechte sijde, d'een d'ander gelijck zijn.


Zoals de cirkel een bijzondere vorm is van de ellips, zo bestaat er ook een bijzondere vorm van de hyperbool. Dat is de hyperbool waarvan de parameter en de nevenas even lang zijn.


De begrippen "syde" en "asse" zijn beslist geen synoniemen. In onderstaande tekening is lijnstuk KQ toegevoegd, overeenkomstig bladzijde 288. KQ is de "latus rectum", door Van Schooten ook wel "voornaemste rechte syde" genoemd.

Lees de toelichting op het woordgebruik en de implicaties bij bladzijde 288.


3

Frans van Schooten suggereerde in zijn tekening dat lijn EK de symmetrieas is, maar schreef niet expliciet dat lijn EK loodrecht staat op lijn enε of LI. Pas in stap 17 schreef hij dat bovenstaande niet alleen geldt voor ook de "assen", maar ook voor de "diameters", dus voor iedere middellijn.

10

Hierom gelijck het dan in het Byvougsel des 2den hooft-stucks te pas gekomen is, dat wy aldaer aenmerckten wat bescheyt daer was tussen een Ellipsis en Circkel, belangende haer superficie: so sullen wy hier van gelijcken doen, vergelijckende eenige figuer besloten van een rechte liny en een gedeelte van een Hyperbola met een andre figuer, die mede van een rechte liny en een gedeelte van een Hyperbola besloten is, waer van de rechte en dwersche sijde even groot zijn: nademael het selve tot noch toe van niemant (mijns weetens) aengemerckt is.
Het woord superficie betekent oppervlakte.
Wikipedia: Superficie

Op dezelfde manier als waarop in II Hoofdstuk de oppervlakte van een ellipssegment vergeleken was met de oppervlakte van de bijbehorende cirkelsegmenten, zo wordt hier de oppervlakte van hyperboolsegmenten bestudeerd.


Van Schooten dacht dat hij iets nieuws ontdekt had. We volgen zijn bewijs.

11

Sij dan εEe een figuur besloten van een rechte liny als εe en een gedeelte van een Hyperbola, so 't valt, welkers dwersche asse sy EK, en rechte LI. Mede zo liet iEy een ander figuer wesen, besloten van een rechte liny, als iy, en een gedeelte van een Hyperbola, als iEy, wiens rechte en dwersche sijde even groot zijn, en yder gelijck aen de dwersche sijde EK des figuers εEe. Dan sal ingelijcx, als in de Ellipsis, de figuur εEe tot de figuer iEy sodanige reden hebben, als de rechte asse LI heeft tot de dwersche EK.

Gegeven zijn twee hyperbolen:
 
hyperbool εEe heeft middellijnen met lengte EK en LI en
 
hyperbool iEy heeft zijden met lengte EK en EK.

Te bewijzen:
hyperbool εEe = middellijn LI
hyperbool iEy middellijn EK


In het latijn hanteerde Frans van Schooten de juiste latijnse namen: (zie De Organica Conicarum Sectionum)

Lees de toelichting bij bladzijde 288

3

12

Want aengesien εe en iy van de asse EK in n in tween gelijck gedeelt worden, so sal a in de figuer εEe de rechte sijde zijn tot de dwersche, als 't quadraet nε tottet vierkant KnE. Nu om dat de tweede asse LI de middel-even-reednige is tussen de sijden des figuers εEe: so sal b de rechte sijde zijn tot de dwersche, als't quadraet LI tottet quadraet EK. Weshalven dan c 't quadraet nε tottet vierkant KnE is, als het quadraet LI tottet quadraet EK.

Lijn nEK snijdt de lijnstukken εe en iy middendoor. In driehoek εEe is volgens Apollonius a
KQ=²
EKKn × nE
.
 
Omdat LI de middelevenredige is,
dat wil zeggen
EK = LI
LI KQ
(zie bladzijde 288)
en dus KQ × EK = LI²
daarom b
KQ = LI²
EK EK²

en dus c
² = LI²
Kn × nE EK²

Volgens Apollonius is
QV²=PL
PV × P'VPP'

(zie uitleg bij propositie 21),
waarbij PL de derde evenredige is, oftewel de "latus rectum"
(zie uitleg bij propositie 15).
 

3


b:

c:

13

d En also de syden des figuers iEy even-groot zijn, en yder derselve gelijck aen de dwersche syde EK des figuers εEe: soo volgt dattet quadraet ni aen het vierkant KnE gelijck is;

Omdat hyperboolsegment iEy zodanig is geconstrueerd d dat rechte zijde = dwarse zijde = EK
daarom ni² = Kn × nE.

In hyperbool iEy gelden dezelfde vergelijkingen als bij stap 12, maar bij deze bijzondere hyperbool ontstaat de vergelijking:
² = EK² = 1
Kn × nE EK²
14

en dat dienvolgende het quadraet nε tottet vierkant KnE dat is e tottet quadraet ni is, als het quadraet LI tottet quadraet EK;

Omdat ² = Kn × nE (stap 13) daarom e
n² = ² = LI²
Kn × nE ni² EK²

e:

15

en dat derhalven oock f nε tot ni is, als LI tot EK.

derhalve f
= LI
ni EK


f:

3

16

En also dit in't oneyndig blijckt van alle andere linien als εe en yi, die van de asse EK in yder figuer in tween gelijck gedeelt vvorden: soo volgt g dat de figuer εEe tot de figuer iEy is, als de rechte asse LI tot de dwersche EK. Gelijck voorgestelt was.

Dit bewijs is niet alleen geldig voor het gegeven punt n, maar voor willekeurig ieder punt n (en daar zijn er oneindig veel van).

Conclusie is:

hyperbool εEe = middellijn LI
hyperbool iEy middellijn EK

17

Wyders alsoo dit niet alleen plaets en heeft ten opsicht van de assen, gelijckerwijs 't selve hier voor-gestelt is geweest; maer oock ten opsicht van alle andere diameters, gelijck uyt het Bewijs kan afgenomen worden: echter gemerckt wy hier in by na deselve ordre hebben soecken te volgen, als wy in de Ellipsis, gedaen hebben; en vvy aldaer ghetoont hebben met vvat rechte figueer, begreepen van een rechte liny en een gedeelte des omtrecks eener Ellipsis, yder scheeve figuer, insgelijcx van een rechte en een gedeelte des omtrecks eener Ellipsis besloten, over een quam: so hebben wy oock hier geacht wel te sullen doen, indien vvy van gelijcken toonden, met vvat rechte figuer, besloten van een rechte liny en een gedeelte eener Hyperbole, yder scheve figuer, insgelijcx van een rechte liny en een gedeelte eener Hyperbole besloten, over een quam.

Frans van Schooten suggereerde in zijn tekening dat lijn EK de symmetrieas is, maar schreef niet expliciet dat lijn EK loodrecht staat op lijn enε of LI. Hier schreef hij pas dat bovenstaande bewijs bedoeld was voor de "assen", maar dat het bewijs ook op ging voor "diameters", dus voor iedere middellijn.


18

Sy dan εEe een scheeve figuer, besloten van de rechte εe en een ghedeelte der Hyperbola εEe, vviens dwersche sijde zy LI, en rechte KQ; ofte vviens dwersche diameter zy EK, en rechte met dese t'samen-gaende LI. Ghetrocken hebbende uyt E en K over-handts de linien EM en KP even-wijdig met den diameter LI; en hier na door 't centrum A de liny PAM rechthoeckig op εe, snijdende EM en KP in M en P, maer εe in m; * soo men vvyders om PM, als dwersche asse, en LI als rechte, beschrijft de Hyperbole TMf, de welcke van εe doorsneden wordt, of na dat deselve tot d'een of d'ander sijde is verlengt tot in T en f: dan sal de figuer εEe aen de figuer TMf gelijck zijn.

Gegeven zijn:
  • scheve hyperbool εEe met dwarse zijde LI en parameter (rechte zijde, latus rectum) KQ,
    met middellijn (dwarse diameter) EK,
    met toegevoegde middellijn LI.
  • rechte lijn εTHmef
  • lijn EM en lijn PK evenwijdig aan lijn LI
  • lijn PAMm loodrecht op lijn εTHmef
  • hyperbool TMf
    met as PM (want PAM loodrecht op εe)
    en toegevoegde middellijn LI
Te bewijzen:
  • de oppervlakte van hyperboolsegment εEe is even groot als hyperboolsegment TMf.


Niet expliciet genoemd is dat:
  • lijn LI is evenwijdig aan lijn εTHmef
  • LA = AI
  • AE = AK
Niet genoemd is:
  • parameter van hyperbool TMf
De parameter van hyperbool TMf is beslist niet gelijk aan die van hyperbool εEe. Omdat EK > PM
en omdat
EK = LI
LI KQ
en
PM = LI
LI parameterTMf
daarom EK × KQ = PM × parameterTMf.


3

19

Want aengesien εe van den diameter EK in de figuer εEe in tween gelijck gedeelt vvort: soo sal h de rechte syde KQ zijn tot de dwersche KE, ofte i het quadraet LI tottet quadraet KE, ofte oock k 't quadraet AI tottet quadraet AE zijn, als het quadraet He tottet vierkant KHE.

Omdat
KQ = LI² = He²
KE KE² KH × HE
(stap 12) en omdat LI = 2 × AI en KE = 2 × AE daarom
AI² = He²
AE² KH × HE
.

i:

k:


Deze redenering komt terug in stap 27.
20

Mede also KP, ME, en mH l even-wydig zijn, so sal oock m AE tot EH zijn, als AM tot Mm;

Omdat door de constructie KP // ME // mH daarom
AE = AM
EH mM


m:


En vooruitlopend op stap 25:
HE = AE
mM AM


3

21

dat is, neemende het dobbel der voorgaende, so sal KE tot HE zijn, als PM tot Mm;

Omdat KE = 2 × AE en PM = 2 × AM daarom
KE = PM
HE Mm

22

en vergadert n KH tot HE, als Pm tot mM.

Omdat KH = KE + EH en Pm = PM + mM.
daarom n
KH = Pm
HE mM


n:


En vooruitlopend op stap 25:
KH = HE
Pm mM

dus
HE = AE = KH
mM AM Pm


3

23

Nu is o KH tot HE, als het vierkant KHE tottet quadraet HE; en Pm tot mM, als't vierkant PmM tottet quadraet mM.

Teller en noemer vermenigvuldigen met HE, dan wel mM geeft
KH = KH × HE
HE HE²
en
Pm = Pm × mM
mM mM²

o:

24

Waerom dan oock p het vierkant KHE tottet quadraet HE is, alsset vierkant PmM tottet quadraet mM;

Uit stap 22 en stap 23 volgt:
KH × HE = Pm × mM
HE² mM²

p:

25

en overandert q 'tvierkant KHE tottet vierkant PmM, alsset quadraet HE tottet quadraet mM, of als 't quadraet AE tottet quadraet AM.

Omdat
KH × HE = Pm × mM
HE² mM²
(stap 24)
daarom
KH × HE = HE²
Pm × mM mM²

Omdat
HE = AE
mM AM
(stap 20)
daarom
KH × HE = HE² = AE²
Pm × mM mM² AM²

q:

26

Maer aengesien betoont is, dattet quadraet He is tottet vierkant KHE, alsset quadraet AI tottet quadraet AE: so sal mede gelijckstemmig r het quadraet He zijn tottet vierkant PmM, als 'tquadraet AI tottet quadraet AM.

Omdat
He² = AI²
KH × HE AE²
(stap 19)
en omdat
HE = AE = KH
mM AM Pm
(stap 20 en stap 22)
daarom
He² = AI²
Pm × mM AM²

r:

27

Nu also in de figuer TMf insgelijcx, als boven, het quadraet mf is tottet vierkant PmM, alsset quadraet AI tottet quadraet AM: so sal oock s het quadraet He zijn tottet vierkant PmM, alsset quadraet mf tottet vierkant PmM.

Omdat
mf² = AI²
Pm × mM AM²

en
He² = AI²
Pm × mM AM²
(stap 26)
daarom s
He² = mf²
Pm × mM Pm × mM

s:


Analoog aan stap 19
parameterTMf = LI² = AI² = mf²
PM PM² AM² Pm × mM
28

Waer uyt dan volgt, t dattet quadraet He aen het quadraet mf gelijck is, en dat dienvolgens mede de linien He en mf, als oock haer dobbel εe en Tf even lanck zijn.

… dus He² = mf² dus He = mf
en omdat εe = 2 × He en Tf = 2 × mf
daarom εe = Tf.


t:


3

29

't Selve blijckt mede in't oneyndig van alle andre linien εe en Tf, die van de diameter KE en PM in yder figuer in tween gelijck gedeelt vvorden. Weshalven dan openbaer is u dat de scheeve figuer εEe aen de rechte TMf gelijck is. Gelijck voorgestelt vvas.

Dit bewijs is niet alleen geldig voor het gegeven punt ε, maar voor willekeurig ieder punt ε (en daar zijn er oneindig veel van).
Conclusie is dat de oppervlakte van het scheve hyperboolsegment even groot is als dat van het bijbehorende rechte hyperboolsegment.




3




Voetnoten bij bladzijden 306 tot en met 310.