www.fransvanschooten.nl





I

Hieronder staat recht­hoekig stuk land ABCD met AB = CD = 34 meter en AD = BC = 32 meter. Het land wordt verdeeld met een gezamenlijke gang, BFHG langs het voorste deel, AGHE naar het achterste deel, FCDE. De gang is 4 meter breed en de oppervlakte van beide recht­hoekige stukken is even groot.

Wat zijn de afmetingen van beide stukken land?

tip

  1.   
    • tip

      Kies je voor algebra? Neem dan DE = x, maak de juiste formules en los de bijbehorende vergelijking op.
      Kies je voor meetkunde? Verdeel de gang eerlijkin twee even grote delen.

antwoord

  1.   
    • antwoord

      Algebra
       
      Gevraagd: CD×DE = AG×AE
      Stel DE = x
      dan CD×DE = 34 x
      en AG×AE = 30×(32−x)
      Dus 34 x = 30×(32−x)
      oftewel 34 x = 30×32 − 30 x
      geeft 64 x = 30×32
      dus x = 15
      Antwoord: Land EDCF heeft afmetingen DE = 15 en CD = 34
      en land AEHG heeft afmetingen AE = 17 en AG = 30,
      Meetkunde
       
      Gevraagd: CD×DE = AG×AE
      Oppervlakte ABCD = 34 × 32 
      Verdeel gang BFHG in twee gelijkvormige rechthoeken zodat GI = BI = 2 waardoor AI = AG + GI =32.
      De som van oppervlaktes AEHG en HKIG moet even groot zijn als de som van oppervlaktes CDEF en BFKI.
      Omdat oppervlakte AIKE = ½ 1088 = 544 en AI = 32, daarom is AE = 32 − 15 = 17
      Antwoord: Land EDCF heeft afmetingen DE = 15 en CD = 34
      en land AEHG heeft afmetingen AE = 17 en AG = 30,

opdracht 2

 

II

Hieronder staat vierhoek ABCD met punt E in het midden van AD. Gevraagd wordt om deze vierhoek vanuit punt E in twee even grote stukken te verdelen.

antwoord

  1.   
    • Een eenvoudige manier om vierhoek ABCD op te delen in twee evengrote oppervlaktes is door eerst de oppervlakte van trapezium AFCD te verdelen met een lijn door de middens en dan de oppervlakte van driehoek FBC te verdelen met een zwaartelijn, opdat de oppervlakte van vierhoek ABGE even groot is als de oppervlakte van vijfhoek BGADC, maar dat vindt Van Schooten niet mooi genoeg. Er moet en rechte lijn komen!

      Trek lijn GH evenwijdig aan lijn BE. Op basis EB is de oppervlakte van driehoek EBG even groot als de opervlakte van driehoek EBH.
      en dus deelt lijn EH de oppervlakte van vierhoek ABCD op in twee vierhoeken met even grote oppervlakte.

      Frans van Schooten verwees naar de 37ste propositie:

In de oorspronkelijke tekst staat niet dat punt E het midden is van zijde AD, maar in de uitwerking staat wel dat lijn EG trapezium ADCF in twee even grote oppervlaktes deelt.
Uitdagende opdracht is om een oplossing te vinden voor het vraagstuk om vierhoek ABCD vanuit punt E met één rechte lijn in twee even grote stukken te verdelen, indien punt E niet het midden is.

opdracht 1

opdracht 3

top