www.fransvanschooten.nl



VII

Van een vierhoekig stuk moeras ABCD zijn de afmetingen bekend: AB = 58,5 en BC = 27,3 en CD = 50,0 en AD = 32,0.
In het verlengde van AD zijn de punten E en F met DE = 27,5 en CE = 32,5.

Gegeven is dat de hoek tussen lijn AF en FC recht is.
Hoe groot is de oppervlakte van vierhoek ABCD?

notatie

  1.   
    • tip

      Van Schooten gebruikt in zijn tekening niet de moderne decimale komma notatie.
      Hij schrijft 50 en 585 , en bedoelt daarmee 50 eenheden en 585 tienden, dat wil zeggen 50,0 en 58,5. Deze notatie is ingevoerd door Simon Stevin in zijn werk "De Thiende".

      De Thiende

tip

  1.   
    • antwoord

      Bereken eerst de lengte van EF en CF en dan de oppervlakte van driehoek ADC.
      Bereken daarna de lengte van AC en BG en dan de oppervlakte van driehoek ACB.

antwoord

  1.   
    • antwoord

      Bereken eerst de lengte van CF, de gemeenschappelijke hoogtelijn van de driehoeken DCE en ECF.
      Noem EF = x en CF = y. Uit (27,5+x)² + y² = 50,0² en x² + y² = 32,5² volgt 27,5² + 2×27,5×x = 50,0² −32,5² en dus is EF = x = 12,5 en CF = y = 30,0.
      De oppervlakte van driehoek ACD is nu de helft van het product van AD en CF: ½ × 32,0 × 30,0 = 480,00.

      Bereken daarna AC en BG.
      Omdat AF = 32,0 + 27,5 + 12,5 = 72,0 en omdat CF = 30,0 en omdat AC2 = AF2 + CF2 daarom is AC = 78,0.
      Noem BG = y en CG = x en AG = 72,0−x. Uit |AG|² + |BG|² = |AB|² en |CG|² + |BG|² = |BC|² volgt 58,5² − 27,3² =(72,0−x)² − x)² dus 72,0² − 58,5² + 27,3² = 2×72,0×x zodat CG = x = 21,84.
      Uit |BG|² = |BC|² − |CG|² volgt BG = 16,38.
      De oppervlakte van driehoek ABC is nu de helft van het product van AC en BG: ½ × 78,0 × 16,38 = 638,82.

      De oppervlakte van vierhoek ABCD is nu de som van de oppervlaktes van driehoeken ADC en ACB: 480,00 + 638,82 = 1118,82.

opdracht 6

opdracht 8

 

top