www.fransvanschooten.nl



VIII

Een boer heeft veel land, waaronder een woest en ontgonnen land dat hij wil nalaten aan zijn zoons.

Een landmeter meet slim enkele afstanden op en maakt onderstaande kaart. Volgens de landmeter weet je met deze gegevens voldoende om de oppervlakte van dat land te kunnen uitrekenen. Ook heeft de landmeter alvast een paar hulplijnen getekend.

Evenwijdig aan zijde AF van vierhoekig stuk land ABEF is lijn BG getrokken. Enkele lengtes zijn opgemeten: AB = 29, BG = 23, GE = 10, EF = 15 en AF = 59.

Hoe groot is de oppervlakte van vierhoek ABEF?

tip

  1.   
    • tip

      Verdeel trapezium ABGF in driehoek ABC en parallellogram BGFC.
      Bereken alle zijden van driehoek ABC en bereken de lengte van hoogtelijn AD.
      De lengte van BE hoeft niet uitgerekend te worden.

antwoord

  1.   
    • antwoord

      Verdeel trapezium ABGF in driehoek ABC en parallellogram BGFC. In driehoek ABC is BC = FG = 10 + 15 = 25 en AC = AF − CF = 59 − 23 = 36.
      Noem AD = x en BD = y. Uit x² + y² = 29² en (36−x)² + y² = 25² volgt 36² − 25² + 29² = 2×36×x en dus is AD = x = 21 en BD = y = 20.
      De oppervlakte van driehoek ABC is nu de helft van het product van AC en BD: ½ × 36 × 20 = 360.

      Bereken daarna de oppervlaktes van BGFC, BGE en BEFC.
      De oppervlakte van parallellogram BGFC is het product van BG en BD: 23 × 20 = 460. De oppervlakte van de driehoeken BCF en BFG is daar ieder de helft van: ½ 460 = 230. De oppervlakte van driehoek BGE is een deel van de oppervlakte van driehoek BGF: 10 / 25 × 230 = 92. De oppervlakte van vierhoek BEFC is nu het verschil van de oppervlaktes van BGFC en BGE: 460 − 92 = 368.

      De oppervlakte van vierhoek ABGF is nu de som van de oppervlaktes van ABC en BEFC: 360 + 368 = 728.

opdracht 7

opdracht 9


 
 

Vervolgopdracht

De boer heeft twee zonen en wil dat de oppervlakte eerlijk verdeeld wordt onder zijn twee zoons.
Verdeel het land door vanuit het midden van AF een rechte lijn te trekken richting lijn BE.

tip

  1.   
    • tip

      Punt M is het midden van zijde AF.
      Punt P is het gevraagde punt op lijn BE waarvan lijn MP de oppervlakte van vierhoek ABEF verdeelt in twee even grote vierhoeken ABPM en MPEF.
      Verdeel vierhoek ABEF in driehoek ABM, driehoek BME en driehoek MEF.
      Van driehoek ABM en driehoek MEF kun je de oppervlakte berekenen, dus ook de oppervlakte van driehoek BME.
      Construeer rechthoekige driehoek BJE, bereken de lengte van BJ en JE en bereken met de stelling van Pythagoras de lengte van BE.
      Verdeel nu de oppervlakte van driehoek BME met lijn MP

antwoord

  1.   
    • antwoord

      AF = 59, dus AM = MF = 29,5, BD = 20, dus de oppervlakte van driehoek ABM is 295.
      De lengte van hoogtelijn HE in driehoek MEF is 15/25 van 20, dus 12.
      De oppervlakte van driehoek MEF is 177.
      Iedere zoon krijgt de helft van 728, dus 364.
      Driehoek MBE moet dus verdeeld worden in de verhouding (364 − 295) : (364 − 177), dus 69 : 187.
      De lengte van BE volgt uit de stelling van Pythagoras bij rechthoekige driehoek BJE. De lengte van JE is 10/25 van 20, dus 8. Omdat CD = FH + GJ en HF : GJ = 15 : 10, daarom GJ = 6 en dus BJ = BG + GJ = 23 + 6 =29. Uit 29² + 8² = 905 volgt dat BE ongeveer 30 is.
      Omdat BP : PE = 69 : 187, dus BP = 8.


top