www.fransvanschooten.nl



IX

Een zeshoekig stuk land ABCDEF is besloten door een driehoek GHI.
Daarvan zijn de afmetingen bekend: GB = 39 en BC = 118 en CH = 25 en HD = 30 en DE = 100 en EI = 65 en IF = 23 en FA = 109 en AG = 37.

Hoe groot is de oppervlakte van zeshoek ABCDEF?

tip

  1.   
    • tip

      Bereken eerst de oppervlakte van driehoek GHI.
      Gebruik de methode van voorstel VI op bladzijde 51.
      Bereken daarna de oppervlakte van de driehoeken GBA, HCD en IEF.
      Gebruik de methode van voorstel IX, bovenaan op bladzijde 56.

      bladzijde 51
      bladzijde 56

antwoord

  1.   
    • antwoord

      Bereken eerst de oppervlakte van driehoek GHI via hoogtelijn HP uit punt H.
      Bereken GH = 39 + 118 + 25 = 182, HI = 30 + 100 + 65 = 185 en GI = 37 + 109 + 23 = 169. Noem IP = x en HP = y. Uit (169−x)² + y² = 182² en x² + y² = 195² volgt IP = x = 99 en HP = y = 168.
      De oppervlakte van driehoek GHI is nu de helft van het product van GI en HP: ½ × 169 × 168 = 14196.

      Bereken daarna de oppervlakte van de driehoeken GBA, HCD en IEF.

      Driehoek GBA' is een verkleining van driehoek GHI met factor 39/182 waarbij punt A' op zijde GI ligt.
      Driehoek GBA is vervolgens een evenredig deel van driehoek GBA':
      39×37× 14196 = 666
      182169

      idem driehoek HCD:
      25×30× 14196 = 300
      182185

      idem driehoek IEF:
      65×23× 14196 = 644
      185169

      De oppervlakte van zeshoek ABCDEF is: 14196 − 666 − 300 − 644 = 12586.

opdracht 8

opdracht 10

 



Techniek 1

Frans van Schooten heeft twee technieken om de oppervlakte van de ene driehoek uit te drukken in de oppervlakte van een andere driehoek.

Gegeven zijn de driehoeken ABC en AEF.
Trek hulplijn BC' evenwijdig aan zijde EF.
Driehoek ABC' is een verkleining van driehoek AEF met factor
AB=AC'
AEAF
.
Daarom opp. DEF : opp. ABC' = 1 :
AB×AC'
AEAF

oftewel opp. DEF : opp. ABC' = AE × AF : AB × AC'.

Driehoek ABC' en ABC hebben gelijke hoogte en dus verhouden hun oppervlaktes zich als de lengte van hun basis: opp. ABC : opp. ABC' = AC : AC'.

Gevolg is dat opp. DEF : opp. ABC = AE × AF : AB × AC.



Techniek 2

Gegeven driehoek ABG met AG = AC. De oppervlakte van driehoek ABG is vanwege de even lange basis even groot als de oppervlakte van driehoek ABC.

Gevolg is dat opp. DEF : opp. ABG = AE × AF : AB × AG.


top