www.fransvanschooten.nl



XII

Gegeven is vijfhoekig stuk land ABCDE met CD = 35 en AE = 24. De eigenaar wil dit stuk land vanuit punt I met AI = 4 in twee stukken land met een even grote oppervlakte.

Een landmeter omsluit dit stuk land door vierhoek HBCG.
Dit vierhoek is een trapezium met zijde HB evenwijdig aan GC. Op zijde HAEG ligt punt I. Enkele afmetingen zijn bekend: AH = 6 en BH = 15 en AI = 4 en IE = 14 en EG = 11 en GD = 10 en DC = 35.

Waar op lijn CD ligt punt K waarvan lijn IK vijfhoek ABCDE in twee even grote stukken deelt?

tip

  1.   
    • tip

      Het is niet nodig om de oppervlakte van de vijfhoek te berekenen (en ook niet van de drie- of vierhoeken), want het gaat om de onderlinge verhoudingen.
       
      Trek lijn CH.
       

tip 2

  1.   
    • tip 2

      Verdeel de veelhoek in driehoeken en bereken de relatieve grootte van de oppervlaktes.

tip 3

  1.   
    • tip 3

      Omdat HB evenwijdig is aan GC, kan de oppervlakte van driehoek EHA uitgedrukt worden in de oppervlakte van driehoek DEG.
      Neem punt A' op basis HG met gelijk lengte A'H als lengte AH opdat oppervlakte van driehoek EHA even groot is als oppervlakte EHA' .

antwoord

  1.   
    • antwoord

      Verdeel trapezium BCGH in twee driehoeken BCH en CHG.
      Hun oppervlaktes verhouden zich tot elkaar als hun zijden: 15 : 45.
      opp. BCH : opp. CHG =15 : 45

      opp. DEG : opp. CHG = 11×10× 45 : 45
      3545

      opp. BHA : opp. DEG = 6×15× 45 : 45
      1110

      opp. BHA : opp. CHG = 6×15× 45 : 45
      3545

      opp. CHI : opp. CHG = 10 : 35 = 10× 45 : 45
      35

      opp. CIG : opp. CHG = 25 : 35 = 25× 45 : 45
      35

      opp. CIK : opp. KIG : opp. CIG = x : 45-x : 45 = 25x :25(45−x) :25× 45
      353535

      De oppervlaktes van BCH en CHI en CIK minus BHA moet even groot zijn als de oppervlakte van het verschil van KIG en DEG.
      Uitkomst is CK = x = 2,6.

opdracht 11

opdracht 13

top