www.fransvanschooten.nl



XVI

Van een vierhoekig stuk land ABCD zijn de zijden BC en AD evenwijdig. Het land wordt verdeeld in drie stukken: AGHE, EFCD en GBFH. De oppervlakte van de stukken AGHE en FEDC moeten even groot worden. De gezamenlijke gang GBFH naar beide stukken en krijgt breedte BM = 8. De grens EF moet evenwijdig komen aan zijde CD.
Enkele afmetingen zijn bekend: AB = 70, BC = 55, CD = 65 en AD = 130.

Waar op AD ligt punt E en waar op BC ligt punt F?
Bereken ook de oppervlakte van de drie stukken AGHE, FEDC en GBFH.

tip

  1.   
    • tip

      Verdeel de vierhoek in parallellogrammen en driehoeken.
      Bereken daarna de lengte van hoogtelijn BK en stel de juiste vergelijking op.
       
      Frans van Schooten verwijst naar opdracht VIII op bladzijde 55 voor het rekenen aan de vierhoek.


antwoord

  1.   
    • antwoord

      Doel is dat opp. AGHE = opp. EFCD.
      Stel KI = x en BK = h.
      De vergelijkingen h² + x² = 65² en h² + (75-x)² = 70² hebben als oplossingen x = 33 en h = 56.
      De oppervlakte van driehoek ABI is 2100.
      Driehoek BGL maakt onderdeel uit van de gang GBFH en is
      56²
      deel van de oppervlakte van driehoek ABI.
      Vierhoek AGLI is dan
      48
      49
      deel van 2100.
      Uit opp. AGHE : opp. EFCD = 1 : 1 volgt dat AGLI + ILHE = EFCD.
      Stel IE = y.
      De vergelijking is nu
      2100 × 48+ (56−8)×y = (55−y)×56
      49

      met als oplossing IE = y = 
      976
      91
      zodat AE =
      8476
      91
      en ED =
      4515
      91
      .
      De oppervlakte van vierhoek AGHE is
      252921
      91
      , en die van EFCD ook.
      De oppervlakte van gang GBFH is
      12149
      91
      .

opdracht 15

opdracht 17

 

Zonder gang GBFH is het vraagstuk om vierhoek ABCD in twee even grote stukken te delen een stuk eenvoudiger.
Stel IE = x,
Uit ABI : IBFE : ABFE : EFCD : IBCD = ½ (130−55) : x : ½(130−55)+x : 55−x : 55
en uit ABFE : EFCD = 1 : 1
volgt ½(130−55)+x = 55−x
met als oplossing IE = x = 8¾.
zodat BF = 8¾, ED = FC = 46¼ en AE = 83¾.

Voor de berekening van de oppervlaktes van ABFE en EFCD moet eerst de lengte van de hoogtelijn BK uitgerekend worden.
Stel KI = x en BK = h.
De vergelijkingen h² + x² = 65² en h² + (75-x)² = 70² hebben als oplossingen x = 33 en h = 56.
De oppervlakte van driehoek ABI is 2100, van vierhoek EFCD is 3080 en de totale oppervlakte van vierhoek ABCD is 5180.
De oppervlakte van vierhoek IBFE is 490.
De oppervlakte vierhoek ABFE is gelijk aan de oppervlakte van vierhoek EFCD, namelijk 2590.

top