www.fransvanschooten.nl



XVII

Een vierhoekig stuk land ABCD wordt verdeeld in twee even grote stukken met een gezamenlijke gang GBFH. De breedte van de gang BG = 10. De grens EF moet evenwijdig zijn aan zijde AB. Op zijde AD is punt I bepaald waarbij lijn CI evenwijdig is aan zijde AB.
Enkele afmetingen zijn bekend: AB = 110, AI = 105, IC = 75 en ID = 45.

Bereken de afmetingen AE en EF.

tip

  1.   
    • tip

      1.Stel DN = n en reken deze uit.
      2.Stel AE = x.
      3.Druk alle oppervlaktes van driehoeken uit in verhouding tot de oppervlakte van driehoek ICN.
      4.Verdeel het trapezium ABCI in kleinere trapezia en druk de oppervlaktes uit in verhouding tot de oppervlakte van trapezium ABCI.
      NB: De tekening suggereert een rechte hoek in punt B, maar het vraagstuk kan opgelost worden voor iedere willekeurige hoek.
      Uiteraard is alleen bij een rechte hoek de breedte van de gang 10 en bij iedere andere hoek is BG weliswaar 10, maar dat is dan wel de schuine breedte.
      NB:Frans van Schooten trekt de lijn vanuit het midden van de gang door naar punt N, maar onderstaande uitwerking trekt lijn BFC door tot punt N.

antwoord AE

  1.   
    • antwoord AE

      Doel is dat opp. AGHE = opp. EFCD.
      Eerst worden de oppervlaktes van ABFE en EFCD uitgedrukt in de oppervlakte van ICN.
      AN : AB = 105+45+n : 110 = 45+n : 75 zodat n = 180.

      ABN : EFN : ICN = (105+45+180)2 : (10−x+45+180)2 : (45+180)2

      ICD : DCN : ICN = 45 : 180 : 45+180 = 45×225 : 180×225 : 2252.

      EFCD : ICN = EFN − DCN : ICN = (330−x)2 − 180×225 : 2252.

      ABFE : ABCI : ICN = ABN − EFN : ABN − ICN : ICN = 3302 − (330−x)2 : 3302 − 2252 : 2252.


      Verder met het trapezium. De breedte van de gang BG = 10.
      ABCI : AGKI : GBCK = 110+75 : 100+65 : 10+10

      ABCI : AGKI : GBCK = 3302 − 2252 : 100+65 (3302 − 2252) : 10+10 (3302 − 2252)
      110+75 110+75

      GBCK : GBFH : HECK = 105 : x : 105−x

      GBCK : GBFH : ICN = 10+10 (3302 − 2252) : x 10+10 (3302 − 2252) : 2252
      105 105 110+75

      AGHE : ICN = ABFEGBFH : ICN = 3302 − (330−x)2 x 10+10 (3302 − 2252) : 2252
      105 110+75

      Vierhoekig stuk land ABCD wordt verdeeld in twee even grote stukken AGHE en EFCD.
      AGHE : EFCD = 1 : 1

      AGHE : EFCD = 3302 − (330−x)2 x 10+10 (3302 − 2252) : (330−x)2 − 180×225
      105 110+75

      met als oplossing AE = x = 60, ongeacht de hoek in punt A.


antwoord EF

  1.   
    • antwoord EF

      Omdat DN = 180 en AE = 60
      volgt uit
      AN = EN = IN = 105+45+180 = 45+45+180 = 45+180
      AB EF IC 110 EF 75

      dat EF = 90.

opdracht 16

opdracht 18

 

In het "vervolg" wordt aangetoond dat

opp. ∆ABG : opp. ∆HIG = AG × EG : HG²

opp. ∆HIG : opp. ∆GCD = HG² : FG × GD

opp. ∆ABG : opp. ∆GCD = AG × EG : FG × GD

top