www.fransvanschooten.nl



XIX

Gegeven driehoek ABC,
met voetpunt D van de deellijn uit hoek B op zijde AC,
met cirkel om punt C door punt D
met punt E, het snijpunt van de cirkel met de deellijn BD,
met voetpunt H van de hoogtelijn uit punt C op (het verlengde) van zijde BC,
met punt I, het snijpunt van rechte HC met (het verlengde) van zijde AB.

Bewijs dat BD : BE = AD : CD = AB : BC.

tip

  1.   

antwoord

  1.   
    • antwoord

      Omdat BD de deellijn is in hoek B geldt AB : BC = AD : CD.
      Omdat CD = CE en ∠DCH = ∠HCE, daarom is ∆DCH congruent met ∆ECH en dus is DH = EH.
      Omdat ∠IBH = ∠HBC en ∠BDI = ∠BDC met gemeenschappelijke zijde BH, daarom is ∆IBH congruent met ∆CBH en dus is IH = CH.
      Omdat IH = CH en DH = EH met vier rechte hoeken in punt H, daarom is vierhoek IDCH een ruit en dus is zijde CD evenwijdig aan zijde EI.
      Omdat ∠IBE = ∠EBC en ∠BEI = ∠BEC met gemeenschappelijke zijde BE, daarom is ∆BEI congruent met ∆BEC en dus is BI = BC.
      Vanwege de evenwijdigheid van ADC met EI geldt dat ∆BAD gelijkvormig is met ∆BIE en dus BD : BE = AB : BI.
      Omdat BI = BC, geldt dus BD : BE = AB : BC.

      Conclusie is dat BD : BE = AD : CD = AB : BC.


opdracht 18

opdracht 20


top