www.fransvanschooten.nl

De transcriptie begint onderaan bladzijde 158, na voorstel III, zie  webpagina 158 (III), en loopt door tot de eerste alinea van bladzijde 159.
webpagina 158 (I)



I Voorstel

Bepaal de afstand van A naar B als je niet van A naar B kunt gaan.


Inleiding


Dit voorstel is onderdeel van een verzameling verwante constructies. Meer informatie staat op webpagina 157.

Op bladzijde 157 moet je ver naar achter gaan: evenver als de afstand van A naar B. Soms heb je daar niet de ruimte voor. Frans van Schooten Junior had hier een oplossing voor. In deze constructie gebruikte hij vergrotingsfactor 3. Uiteraard is de constructie ook met andere factoren te maken.
Hij gebruikte hier de schets van bladzijde 159 om alle drie de voorstellen te behandelen.
Voorstel I op webpagina 158 (I)
Voorstel II op webpagina 159 (II)
Voorstel III op webpagina 159 (III)

Dit is de tweede manier om de afstand AB te bepalen. De andere manieren staan op webpagina's 157 (I), 160 (I) en 162.:
webpagina 157 (I)
webpagina 160 (I)
webpagina 162 (I)


Opdracht

Gegeven zijn twee punten A en B. Gevraagd wordt om de lengte van de afstand van A naar B te bepalen zonder van A naar B te gaan.


top



 

Applets


top



 

Bewijs

Dit bewijs is een vervolg op dat van Voorstel I. Dat is het voorstel zonder de vergrotingsfactor, terwijl dit met vergrotingsfactor 3 is.
webpagina 157 (I)

Het bewijs is gebaseerd op congruente driehoeken en op vergrotingen: ∆AFH ∼ ∆EFG en ∆AFH ∼ ∆ADI en ∆EFG ≅ ∆ADI en ∆ABF ∼ ∆AKD.
congruentie

Door de constructie is ∆AFH een vergroting van ∆EFG, want ze hebben dezelfde hoek in F en de aanliggende zijden zijn met dezelfde factor vermenigvuldigt: AF = 3 × EF en FH = 3 × FG. Door de constructie is de ∆AFH een vergroting van ∆EFG, want ze hebben een even grote, overstaande, hoek in A en de aanliggende zijden zijn met dezelfde factor vermenigvuldigt: AH = 3 × AI en AF = 3 × AI. Daarom zijn ook de driehoeken EFG en ADI aan elkaar gelijk. Hier uit volgt dat ∆ABF een vergroting is van ∆AKD met vergrotingsfactor 3, want ze hebben een even grote, overstaande, hoek in A en ∠F = ∠D en de tussenliggende zijde is drie keer zo lang: AF = 3 × AD. Gevolg is dat AB = 3 × AK. Daarom is de op te meten afstand AK een derde van de afstand AB die niet opgemeten kan worden omdat B onbereikbaar is.


top