www.fransvanschooten.nl

Bijlage Bottema

L-22

Verscheidenheden

door
Prof. dr. O. Bottema
Delft

LXVII. Frans van Schooten aan Christiaan Huygens.

De Oeuvres complètes de Christiaan Huygens zijn geen geschriften om in één adem uit te lezen en elk der tweeëntwintig quarto delen is reeds om fysieke redenen ongeschikt als livre de chevet. Wie de prachtige editie ter hand neemt, beseft dat deze duizenden bladzijden door weinigen in hun volle omvang zullen zijn gelezen. Zelfs de exemplaren uit de openbare bibliotheken zijn thans nog, meer dan zeventig jaren na het begin der uitgave, in een staat die waard is om als nieuw te worden aangeprezen. Toch zal wel niemand, nog afziende van de betekenis der uitgave als typografisch werkstuk, haar reële behoefte willen afwegen tegen de onmetelijke zorg en aandacht waarmee zij in een reeks van jaren door een uiteraard wisselende groep van eminente mathematici en historici tot stand is gebracht. Veeleer wekt zij een met nationale trots gemengde emotionele voldoening en het besef dat op een edele wijze vorm is gegeven aan bewondering en eerbied voor een der grote figuren uit de geschiedenis van de wiskunde en de wetenschap der natuur.

De eerste tien delen van de editie bevatten de uitgebreide correspondentie van Christiaan Huygens met zijn verwanten, vrienden en relaties. Dat na enige eeuwen publikatie in deze omvang mogelijk bleek, danken wij mede aan een - blijkbaar de familie inherente - karaktertrek, die er tegenop ziet een schriftuur, zij het ook een petit billet van voorbijgaande zin, weg te doen. De redacteuren der uitgave hebben hun grenzen ruim getrokken en ook brieven opgenomen, die met Christiaan zelf slechts zijdelings in verband staan. Ook hebben de oudere brieven dikwijls betrekking op algemeen menselijke, belangrijke of onbelangrijke aangelegenheden, wat hen boeiend doet zijn als documents humains. Als twee jongens Huygens, Christiaan en zijn jongere broer Lodewijk, school gaan op de Academie in Breda, is er een briefwisseling tussen de directeur, bij wie zij in huis zijn, en vader Constantijn, de dichter en staatsman. De berichten vooral over Christiaan zijn veelbelovend:

"Votre fils qui est logé chez nous me donne une grande satisfaction, soit pour la diligence qu'il apporte à ses études, soit pour l'honnÍteté de ses comportements" en hij vervolgt met een door de tijd ingeloste belofte: "Sans vous flatter, Monsieur, je le regarde comme un nouvel Orient, qui ne tardera pas à envoyer ses lumières par tout" (24 juni 1647). Een heel andere toon heeft een briefje van de oudste broer, Constantijn junior, van Den Haag uit aan Christiaan, hem broederlijk bezwerend toch gauw naar huis te schrijven: vader blijkt het qualyck te nemen "dat geen van je beiden eens een woord en schrijft". "Daarom moet je je tot beterschap stellen of hij sou heel quaet worden" (19 juni 1648). De situatie is ten duidelijkste van alle tijden.

In de Bredase periode heeft Christiaan reeds een intensieve correspondentie met Mersenne te Parijs en met van Schooten, de hoogleraar onder wie hij te Leiden had gestudeerd. Men zendt elkaar vraagstukken en oplossingen van allerlei aard, die voor de scholing van de negentienjarige jongeman van betekenis zullen zijn geweest. Wij nemen er hier op goed geluk een voorbeeld uit om een indruk te geven van aard en niveau.

Op 20 juni 1648 zendt van Schooten aan Christiaan een uitgave van Archimedes, die hij op een actie te Haarlem (voor zeven gulden en vijf stuivers) heeft gekocht, "die heel wel geconditioneert is" en die hij aan hem over doet. "Vorders sende ick VE hier 3 problemata, die mij onlangs sonder solutie van Parijs sijn toegesonden, dewelcke mijns bedunkens niet swaer en sijn". Hij heeft ze zelf niet opgelost, omdat de tijd daarvoor ontbrak (aan welke opmerking men zekere bijgedachten kan verbinden). U Edele zal ze gemakkelijk vinden, meent hij, gij hebt wel veel zwaardere gesolueert.

Wij beperken ons tot het eerste probleem, evenals de beide andere een constructieopgave uit de planimetrie, en luidende als volgt. Gegeven is (fig. 1) de driehoek ABC met op AB het punt D en op AC het punt E. Gevraagd op BC het punt F zodanig dat ∠BDF = ∠FEC.

Wij voegen er dadelijk aan toe, dat in de verdere uitgegeven correspondentie, voor zover wij zien, door geen der partijen op de vraagstukken is teruggekomen, zodat onzeker blijft of en zo ja hoe de vrienden het probleem hebben gesolueert.

Beweegt een punt P van B naar C dan neemt de hoek BDP monotoon toe van nul tot ∠BDC en hoek PEC neemt monotoon af van ∠BEC tot nul, waaruit blijkt dat er steeds één oplossing is. Wij kunnen door D de rechte DS en door E de rechte ES trekken zů dat ∠BDS = ∠CES(= φ). Dan ontstaan met D en E tot toppen twee congruente waaiers en omdat wij het intussen in de projectieve meetkunde zo heerlijk ver gebracht hebben, weten wij dat de meetkundige plaats van S een kegelsnede h is. De snijpunten daarvan met de rechte BC kunnen volgens bekende constructies met passer en lineaal bepaald worden. Blijkbaar zijn zij reëel en ligt één ervan tussen B en C. Het probleem is daarmee in beginsel opgelost en het heeft een elementair karakter. Wat de genoemde kegelsnede betreft: zij gaat uiteraard door D en E, en ook door A (φ = 0). Is α de tophoek van de driehoek, dan zijn voor φ = α/2 en ook voor φ = (π − α)/2 de toegevoegde rechten door D en E evenwijdig. Daaruit volgt dat h een orthogonale hyperbool is met als asymptotische richtingen die van de binnen- en buitenbissectrice van A. Zijn voorts φ = φ1 en φ = α − φ1 twee waarden van φ waarbij de punten S en S′ van h behoren, dan is DS // ES′ en DS′ // ES, waaruit volgt dat S en S′ elkaars spiegelbeeld zijn t.o. v.

het midden M van DE. Het middelpunt van h is dus M en de asymptoten van h zijn de rechten door M evenwijdig met de bissectrices van A (fig. 2). Het verloop van h is daarmee wel volledig bepaald en het is duidelijk dat een van de takken (in de figuur die door E) een punt tussen B en C bevat. Met projectief-meetkundige beschouwingenis het vraagstuk dus eenvoudig op te lossen.

Wie een analytische oplossing wenst zou de oorsprong van zijn assenstelsel in A kunnen leggen en de X-en Y -as langs de binnen en buitenbissectrice. Wij stellen BD = p, DA = c − p = p1, CE = q, EA = b − q = q1. Als vergelijking van h vindt men dan

2xy + (p1 − q1) sin α ⋅ x − (p1 + q1) cos α ⋅ y = 0
22
(1)

Een parametervergelijking van BC is

x = cos α λb + μc
2λ + μ
,
y = sin α λb − μc
2λ + μ
(2)

zodat de snijpunten van h en BC bepaald worden uit

bqλ² + (cp1bq1)λμ − cpμ² = 0 (3)

 
waarvoor de wortels voor positieve p, p1, q en q1 reëel zijn en van tegengesteld teken. Eén snijpunt ligt dus inderdaad tussen B en C. Van het andere is de betekenis ook duidelijk. Men krijgt fig. 3 met de daarin aangegeven gelijke hoeken. De beide snijpunten kunnen met behulp van (3) met lineaal en passer worden geconstrueerd.

Men kan het vraagstuk uitbreiden tot gevallen waarbij D en/of E op de verlengden der zijden liggen, maar de oplossing is dan niet altijd reëel.

Bijzondere gevallen zijn o.a.: 1) DA = EA; h is ontaard in de rechte DE en de binnenbissectrice, het uiteinde van de laatste is het gevraagde punt; 2) DE is antiparallel met BC, cp1 = bq1, de twee snijpunten liggen harmonisch met B en C; 3) AB = AC; men heeft BF : FC = p : q, het tweede snijpunt ligt in het oneindige.

Men kan ook elke introductie van de hyperbool weglaten en het vraagstuk met trigonometrie oplossen. Is in fig. 1 ∠BDF = ∠FEC = ϑ, dan is

BF = p sin ϑ
sin(β + ϑ)
,
FC = q sin ϑ
sin(γ + ϑ)
,

zodat voor ϑ wordt gevonden de vergelijking

p sin ϑ  sin(γ + ϑ) + q sin ϑ  sin(β + ϑ) − a sin(β + ϑ sin(γ + ϑ) = 0 (4)

 
of wel

p cos(γ + 2ϑ) − p cos γ + q cos(β + 2ϑ) − q cos βa cos(β + γ + 2ϑ) + a cos(β − γ) = 0 (5)

 
Zij is van het elementair oplosbare type:

P1 cos 2ϑ + P2 sin 2ϑ + P3 = 0 (6)

 
maar de discussie over de realiteit van de wortels is bewerkelijker. Hoe Huygens het probleem zou hebben behandeld, kunnen wij slechts gissen. Over onze trigonometrie zal hij niet hebben beschikt en nog minder over projectieve meetkunde. Maar in de leer der kegelsneden was hij uitnemend thuis. Reeds voor hij naar Leiden ging had hij in 1645 private lessen gehad van de landmeter J.J. Stampioen de jongere, die daarvoor een programma had ontworpen. Daarin heet het "om op de hoogsten trap der Wisconst te comen, so sijn inde snijdinge vande Conus, namentlijck inden Elipsis, parabole, ende hiperbole, de alder subtylste wetenschappen verborgen, die imant hier op de werelt sou kunnen bedencken". Appollonius wordt dan ook op de boekenlijst gezet, evenals trouwens voor de kennis der optica, "het bouck van de Cartes". In de arithmetica valt niet veel meer te doen, meent de mentor, "ten sij dat de sinnelijckheidt streckte tot den Algebra". Wij weten dat de sinnelijckheidt van Christiaan zich later nog heel wat verder heeft uitgestrekt. Bij zijn onderzoekingen ging hij op geniale wijze eigen wegen en tegenover de methode van Descartes en later de infinitesimaalrekening van Leibniz stond hij min of meer afwerend. Ook in dit opzicht schijnt hij zijn leermeester te volgen, die het leerprogramma afsluit met het algemene en na drie eeuwen nog actuele advies: "ook sells daer noch wat bij te practiseeren tot het gene dat men gelesen heeft, vordert veel meer, als altijt ende geduerich (sonder eijgen practijck) in de boucken te suffen".


O. Bottema, 1967, Verscheidenheden LXVII: Frans van Schooten aan Christiaan Huygens, Euclides, 42ste jaargang, deel 7, 1967, pp 204-208, Noordhoff, Groningen
O. Bottema, 1977, Verscheidenheden, pp 117-122, Wolters-Noordhoff, Groningen



Verscheidenheden

door
Prof. dr. O. Bottema
Delft


LXX. Elementary, dear Watson.

De thans zo onaanzienlijke geometria, assepoester in het huidige mathematisch bestel, krijgt toch nog op haar tijd fanmail uit de smalle gemeente van haar bewonderaars. De eenvoudige planimetrische opgave, die Frans van Schooten meer dan drie eeuwen her aan Christiaan Huygens voorlegde en die in Verscheidenheden LXVII (Euclides, 42, 1966/67, 204-208) werd besproken, bleek aanleiding te geven tot menig schriftelijk en mondeling weerwoord. Met toestemming van de redactie en van de hieronder met name genoemde correspondenten worden in deze bijdrage de opmerkingen samenvattend verzameld.

Het vraagstuk luidde als volgt. Gegeven is de driehoek ABC met op AB en AC respectievelijk de punten D en E. Gevraagd wordt op BC een punt F te construeren, zo dat de hoeken BDF en FEC gelijk zijn. Ter aangehaalde plaatse werd een drietal oplossingen aangegeven. In de eerste twee werd de meetkundige plaats bepaald van de punten S, waarvoor de hoeken BDS en SEC gelijk zijn en wel respectievelijk projectief-meetkundig en analytisch. Het resultaat was een orthogonale hyperbool, waarvan dan het snijpunt met BC het gevraagde punt F is. Een derde methode bracht de vraag terug tot het oplossen van een goniometrische vergelijking van een bekend type.

Ten aanzien van de mogelijkheid van een elementaire oplossing was het in de gedachtengang van de schrijver niet verder gekomen dan tot een vaag vermoeden.

Wij geven nu maar dadelijk de oplossing van Dr. J. T. Groenman, die naar de mening van alle betrokkenen de prijs zou mogen krijgen voor de beste inzending. Zijn constructie luidt, na het aanbrengen van een kleine retouche door Prof. dr. S. C. van Veen, als volgt (fig. 1).

Spiegel de driehoek in de basis BC; zij E′ het beeldpunt van E en G het snijpunt van CE′ met het verlengde van AB. Daar ∠FEC = ∠FEC zijn ∠GEF en ∠GDF elkaars supplement, waaruit volgt dat GEFD een koordenvierhoek is. Het gevraagde punt F wordt dus gevonden als snijpunt van BC met de cirkel door de drie bekende punten D, G en E′.

B ligt tussen G en D en dus binnen de cirkel, C ligt buiten GE′ en dus buiten de cirkel: tussen B en C ligt dus steeds één enkel punt van de cirkel. Het tweede snijpunt van de lijn BC met de cirkel levert de figuur die ook reeds in het oorspronkelijke opstel genoemd werd.

De oplossing laat aan eenvoud niet meer te wensen over. Dat rechtvaardigt als begeleiding de klassieke opmerking van het genie uit Baker Street tot zijn goede vriend, die een neiging had te veel achter de dingen te zoeken.

Ook Prof. dr. G. R. Veldkamp zond ons een elementaire oplossing van het vraagstuk. Daarin werd eveneens een spiegeling toegepast en wel ten opzichte van de bissectrice van A. In eenvoud lag zij bij de bovenstaande constructie achter en daar het goede gaarne wijkt voor het betere, wordt zij hier niet gereproduceerd. Hetzelfde geldt voor een tweetal van M. J. Ritter ontvangen oplossingen, die het gevraagde punt door middel van een algebraïsche analyse bepalen.

De enige correspondent die het vraagstuk bleek te kennen was Drs. R. Kooistra, die zich reeds enige jaren geleden er mee heeft beziggehouden daarbij zowel de goniometrische oplossing als de analytische (met een wat ander coördinatenstelsel) vond.

Een uitvoerig schrijven over het onderwerp ontvingen wij van Prof. dr. S. C. van Veen, wiens jarenlange omgang met Huygens' werk welbekend is. Hij deelt allereerst mede dat ook hem uit de in de Oeuvres gepubliceerde briefwisseling niet is gebleken,dat ooit op het gestelde probleem is teruggekomen. Zich verder met aandacht verdiepend in de vraag hoe Huygens het eventueel had kunnen oplossen, komt van Veen op grond van de denkwijze van tijd en milieu en gegeven Christiaan's kennis van zaken omstreeks 1648, tot de uitspraak dat de meetkundige oplossing met behulp van de hyperbool het meest waarschijnlijk is. De negentiende-eeuwse voortbrenging daarvan door projectieve stralenbundels zal hij niet hebben benut, maar Huygens kende zijn Apollonius en moet op grond van diens methodieken en theorema's de meetkundige plaats hebben kunnen afleiden en ook wel de snijpunten daarvan met de basis van de driehoek.

In de correspondentie van Huygens komen nog vele andere meetkundige opgaven, van uiteenlopende aantrekkelijkheid, aan de orde. Het blijkt niet nodig ze uit de Oeuvres bijeen te zoeken. Het is ons namelijk achteraf gebleken dat zulks reeds is gebeurd door P. van Geer, die onder de titel Hugenia geometrica een twaalftal artikelen publiceerde over het meetkundige werk van Huygens in opvolgende jaargangen van het Nieuw Archief voor Wiskunde van 1907 tot 1913. In het eerste artikel (N.A. v. W., 2e reeks, deel VII, 1907, 215-226) treft men uit de correspondentie van 1646 tot 1656 in chronologische volgorde 22 dezer opgaven aan; het door ons besprokene vindt men op bladzijde 220 onder no. 7. Als de correspondentie ook de oplossing bevat wordt deze door van Geer bijgevoegd. Bij no. 7 (en een aantal andere) komt geen bijschrift voor, zodat het wel zeer waarschijnlijk wordt dat Huygens en zijn wetenschappelijke vrienden niet op de opgave zijn teruggekomen.

In zijn algemene beschouwingen herinnert van Geer er aan dat noch de coördinatenleer van Descartes, noch de ontwikkeling van de trigonometrie door Snellius op de denkwijze van Huygens van grote invloed zijn geweest en dat deze verknocht bleef aan de zuiver meetkundige methode der ouden, een opmerking die het door van Veen geuite vermoeden versterkt.


O. Bottema, 1968, Verscheidenheden LXX: Elementary, dear Watson, 43ste jaargang, deel 5, 1968, pp 164-166, Noordhoff, Groningen
O. Bottema, 1977, Verscheidenheden, pp 122-124, Wolters-Noordhoff, Groningen