www.fransvanschooten.nl

GN108

Manuscript GN108 is een aantekenschrift van Frans van Schooten Junior met verschillende onderwerpen.

Mechanische constructies om parabolen en ellipsen te tekenen (kegelsneden)
Driehoek van Pascal
Geheeltallige driehoeken (rekenen met kwadraten)
Toonladders


 

Geheeltallige driehoeken

Geheeltallige driehoeken zijn driehoeken waarvan de lengte van de zijden gehele getallen zijn. Daar zijn er heel veel van. Ieder drietal gehele getallen voldoet mits voor alle drie de getallen geldt dat de som van welke twee getallen dan ook, altijd groter is dan het derde getal. In de Elementen van Euclides is dit propositie 20. Zo voldoet wel de driehoek met zijden 2, 3 en 4, maar bestaat er geen driehoek met zijden 2, 3 en 7.
De bekendste geheel­tallige recht­hoekige driehoek is die met lengte van de zijden 3, 4 en 5. Andere bijzondere geheel­tallige driehoeken hebben naast geheel­tallige lengtes van de zijden ook geheel­tallige lengte van de hoogtelijn, de deellijn of de stukken van de overstaande zijde die door de hoogtelijn of deellijn doorsneden wordt. In GN108 staan de nodige voorbeelden.

Kegelsneden

Met eenvoudige hulpmiddelen kon Frans van Schooten een hyperbool, parabool of ellips tekenen.

kegelsneden

Pythagoreïsche drietallen

Frans van Schooten Junior maakte een overzicht van veel gebruikte Pythagoreïsche drietallen. Die gebruikte hij om te rekenen aan geheel­tallige driehoeken.

geheel­tallig

top



 

titel



 

top



 

1 recto



 

top



 

13 verso



 

Met eenvoudige hulpmiddelen kon Frans van Schooten een hyperbool, parabool of ellips tekenen.
applets

top



 

31 recto



 

Frans van Schooten kende de getallen uit de driehoek van Pascal.



Deze afbeelding is van Wikipedia.

top



 

44 verso



 

Heel veel driehoeken staan getekend op folio 44 verso tot en met 47 recto. Opvallend is dat vaak de lengtes van de zijden geheel­tallig zijn, evenals de lengtes van de hoogtelijnen, deellijnen of zwaartelijnen. In de kantlijn schreef Frans van Schooten een verwijzing naar het werk van Bachet. Frans van Schooten heeft vermoedelijk tijdens zijn colleges bij Jacob Gool kennis gemaakt met het algebraïsche werk van de Franse wiskundige Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638). Bachet heeft in 1621 een vertaling gepubliceerd in het Latijn van de Arithmetica van Diophantus. Diophantus was een Griekse wiskundige, afkomstig uit Alexandrië, uit de eerste eeuwen na de jaartelling. Jacob Gool heeft dit boek vermoedelijk verworven uit de nalatenschap van Willebrord Snellius in 1626. Een andere mogelijkheid is dat Frans van Schooten in zijn studiereis tussen 1641 en 1643 dit boek gelezen heeft.
In de "Mathematische Oeffeningen" (1660) beschreef Frans van Schooten manieren om driehoeken te vinden waarvan de zijden en hoogtelijn uit gehele getallen bestaan. Dit staat in het vijfde boek, de "Afdeelingen van Gemengde Stoffe", "X afdeeling" op bladzijde 397.

Op een aparte webpagina zijn deze geheel­tallige driehoeken uitgewerkt.

72 verso



 
Frans Junior bestudeerde toonladders.

top