www.fransvanschooten.nl

Plato en Pythagoreïsche Drietallen

Pythagoreïsche drietallen zijn drietallen (a,b,c) met a² + b² = c². Drietallen zijn op verschillende manieren te vinden, bijvoorbeeld door van alles te proberen, met de hand of met hulp van een computer. De oude Babyloniers en de oude Grieken, Pythagoras, Plato en Euclides kenden lang voor de jaartelling bepaalde formules.

Lees over Babylonische kleitabletten
Lees ook het recept van Euclides
Lees ook het recept van Pythagoras
Lees ook het recept van Fermat

Recept van Plato

  • Neem een geheel­tallige m
  • Bereken rechthoekszijde a = 2 × m
  • Bereken rechthoekszijde b = m² − 1
  • Bereken langste zijde c = m² + 1

Dit recept wordt door Griekse auteurs van rond de jaartelling toegeschreven aan Plato. Bij W.R. Knorr vind je in zijn boek "The evolution if the Euclidean Elements" meer informatie.


Voorbeelden bij het recept van Plato

Onderstaande tabel bevat de eerste veertig driehoeksgetallen volgens het recept van Plato voor drietallen. In de linkerkolom staat de straal van de ingeschreven cirkel. Dat is tevens het rangnummer. In het midden staan de twee rechthoekszijden en rechts de langste zijde.

Uit m = 2 volgt dat a = 4, b = 3 en c = 5, terwijl r = 1.



 
  r = m−1a = 2×mb = m²−1c = m²+1 




1435
26810
381517
4102426
5123537
6144850
7166365
8188082
92099101
1022120122
1124143145
1226168170
1328195197
1430224226
1532255257
1634288290
1736323325
1838360362
1940399401
2042440442
2144483485
2246528530
2348575577
2450624626
2552675677
2654728730
2756783785
2858840842
2960899901
3062960962
316410231025
326610881090
336811551157
347012241226
357212951297
367413681370
377614431445
387815201522
398015991601
408216801682
etcetera...
 
Vul in m, bereken de lengte van de zijden a, b en c.
         

zie ook de lange lijst

top


Opdracht

Bewijs met algebra dat je met het recept van Plato altijd Pythagorese drietallen maakt.

  1. Antwoord

    • Opdracht

      Bewijs met algebra dat je met het recept van Plato altijd Pythagorese drietallen maakt.

      Antwoord


Ingeschreven Cirkel

De straal van de ingeschreven cirkel van een geheel­tallige recht­hoekige driehoek is altijd geheel­tallig. De formule voor de lengte van de straal is r = m − 1.

Lees de toelichting op de straal van ingeschreven cirkels

Recept van Pythagoras

Aan Pythagoras wordt het volgende recept toegeschreven:

  • Neem m geheel­tallig
  • a = 2 × m + 1
  • b = 2 × m² + 2 × m
  • c = b + 1

Bewijs met algebra dat je met dit recept altijd Pythagorese drietallen maakt.