www.fransvanschooten.nl

Recept voor Rechthoekige Driehoek met Geheeltallige Deellijn

Gezocht wordt naar geheel­tallige recht­hoekige driehoeken waarvan een geheel­tallige deellijn de overstaande zijde in twee geheel­tallige stukken deelt. Hieronder staat driehoek ABC met zijden a, b en c. Deze driehoek kun je vinden door te beginnen met een pythagorees drietal (p,q,r), bijvoorbeeld met het recept van Euclides. Vervolgens kun je de onbekende x uitrekenen. Dat is een breuk met een teller en een noemer. Resultaat is een driehoek waarvan de lengtes van de zijden ook breuken zijn. De vergroting met factor 2q² is dan de gezochte geheel­tallige recht­hoekige driehoeken waarvan een geheel­tallige deellijn de overstaande zijde in twee geheel­tallige stukken deelt.


Lees ook het recept van Euclides


Recept

  • Neem geheel­tallige m en n, met m > n
  • Bereken v = 2mn
  • Bereken w = m² − n²
  • Bereken Pythagorees drietal (p,q,r)
    • Bereken rechthoekszijde p = minimum( v , w )
    • Bereken rechthoekszijde q = maximum( v , w )
    • Bereken langste zijde r = m² + n²
  • Bereken driehoek ABC
    • BC = a = 2pq²
    • AC = b = q(q² − p²)
    • AB = c = q(q² + p²)
    • AD = d = r(q² − p²)
    • BD = p(q² + p²)
    • CD = p(q² − p²)
  • Bereken een verkleining.
    De vergrotingsfactor is de grootste gemene deler.

Onbekende x

Het is niet nodig om de onbekende x uit te rekenen. Na substitutie zijn alle vergelijkingen vereenvoudigd.


zodat: x =  q² − p²
2q²
 


 

Opdracht

Toon met substitutie aan dat de vergelijkingen juist zijn afgeleid.

top


Voorbeelden

Hieronder staan een paar voorbeelden. Ook kun je zelf voorbeelden laten uitrekenen. In de laatste kolom staat de grootste gemene deler.

mnpqr ABACBCBDCDAD ggd 





 





 
21345 1002896752135 1
316810 800224768600168280 8
3251213 2028142814408455951547 1
4181517 433524153600231212882737 1
42121620 640017926144480013442240 64
4372425 150001264880644375368913175 1
etcetera...
 
Vul in m en n, bereken de lengte van de zijden van de driehoek en de deellijn.
                       

top


Opdrachten

Hieronder staan opdrachten over geheel­tallige recht­hoekige driehoeken waarvan een geheel­tallige deellijn de overstaande zijde in twee geheel­tallige stukken deelt.

  1. Onderzoek verschillende getallen van m en n.
    • Wat valt je op als m en n beide even zijn?
    • Wat valt je op als m en n beide oneven zijn?
    • Wat valt je op als m een veelvoud is van n?
  2. Onderzoek de vergrotingsfactor.
    • Wanneer is de vergrotingsfactor 1?
    • Wanneer is de vergrotingsfactor 8?
    • Wanneer is de vergrotingsfactor een zesde macht?
  3. Toon met substitutie aan dat de vergelijkingen voor a, etc. juist zijn afgeleid