www.fransvanschooten.nl

Recept voor Geheeltallige Deellijn

Gezocht wordt naar geheel­tallige driehoeken waarvan een geheel­tallige deellijn de overstaande zijde in twee geheel­tallige stukken deelt.

Een geheel­tallige driehoek met een geheel­tallige deellijn die de overstaande zijde in twee geheel­tallige stukken deelt, kan gevonden worden door slim getallen v, w, p, q, r en s te kiezen. In de tekening hiernaast staat driehoek ABC met zijden:

a = q × s + q × r
b = p × s
c = p × r

Daarbij is p = v + w en q = v − w.

In iedere driehoek zijn twee zijden, willekeurig welke, altijd samen langer dan de andere zijde. Uit deze driehoeksongelijkheid volgt dat:

w < v
w < v ×r
s
w < v ×s
r

Lees ook het recept voor recht­hoekige driehoeken


Recept

  • Neem twee gehele getallen r en s.
    Als r = s dan ontstaat een gelijkbenige driehoek.
    Deze getallen staan voor de verhouding tusen de lengte van de zijden b = p × s en c = p × r.
  • Neem een geheel getal w
    Dit getal staat voor de vergrotingsfactor.
  • Neem een geheel getal k > 1.
  • Bereken v = k² × w × r × s.
    Dit levert altijd een geheel getal v op.
    Alternatief: als r × s een kwadraat is, bereken dan v = k².
    Alternatief: als r > s, bereken dan
    v = k² × w ×r
    s
    , mits v geheel­tallig is.
    Alternatief: als r < s, bereken dan
    v = k² × w ×s
    r
    , mits v geheel­tallig is.
  • Bereken p = v + w
  • Bereken q = v − w
    De getallen p en q staan voor de verhouding tussen de getallen a en b + c
  • Bereken AB = p × r
  • Bereken AC = b = p × s
  • Bereken BC = a = q × s + q × r
  • Bereken BD = q × r
  • Bereken CD = a = q × s
  • Bereken AD = 2√‾‾‾‾rsvw

Vergrotingen

Omdat v een veelvoud is van w zijn p en q dat ook. Bij ieder viertal getallen r, s, k en w hoort een driehoek. Alle driehoeken met dezelfde r, s en k zijn vergrotingen van elkaar. Ten opzichte van de driehoek met w = 1 is de vergrotingsfactor w.

Spiegelingen

Twee driehoeken met dezelfde getallen k en w maar met verwisselde r en s zijn een lijnspiegeling van elkaar.

Als r en s veelvouden zijn van elkaar, of een gemeenschappelijke deler hebben, dan bestaat er altijd een driehoek die een verkleining is van de driehoek die hoort bij die r en s. De vergrotingsfactor is dan de grootste gemeenschappelijke deler. Als r en s met een bepaalde factor vermenigvuldigd worden, dan is de driehoek die hoort bij de nieuwe r en s géén vergroting van de driehoek die hoort bij de oorspronkelijke r en s.

Voorbeelden bij formule voor geheel­tallige deellijn

Onderstaande tabel toont alle getallen die horen bij geheel­tallige driehoeken met een geheel­tallige deellijn. Ze staan op oplopende volgorde van de lengte van de deellijn. Sommige getallen horen bij een driehoek waarvan ook een geheel­tallige verkleining bestaat. De bijbehorende vergrotingsfactor staat in de kolom ggd. In de daaropvolgende kolommen staan dan de lengtes van de zijden van de verkleining.

rskwvpqggdABACBCBDCDAD
113191082558443
11214531556334
1151252624213132412125
143191082520204166
1171495048225254824247
2221161715217173015158
1331272826214425213399
3331818280641418040409
14512526242135260124810
1111112112212026161120606011
13211213111133944113312
12311819171193851173412
11613637351373770353512
1113116917016828585168848413
1471495048225100120249614
15314546442231151322211015
13517576742381141483711115
11151225226224211311322411211215
14211617151176875156016
12413233311336693316216
118164656316565126636316
11171289290288214514528814414417
14918182802411642004016018
11191361362360218118136018018019
1521202119121105114199520
1251505149151102147499820
11101100101991101101198999920

zie ook de lange lijst