www.fransvanschooten.nl

Girard, Fermat en Pythagoreïsche Drietallen

Pythagoreïsche drietallen zijn drietallen (a,b,c) met a² + b² = c². Drietallen zijn op verschillende manieren te vinden, bijvoorbeeld door van alles te proberen, met de hand of met hulp van een computer. De oude Babyloniers en de oude Grieken, Pythagoras, Plato en Euclides kenden lang voor de jaartelling bepaalde formules.

Lees over Babylonische kleitabletten
Lees ook het recept van Plato
Lees ook het recept van Pythagoras
Lees ook het recept van Euclides

Recept van Fermat

In de 17de eeuw onderzochten wiskundigen als Girard en Fermat geheel­tallige recht­hoekige driehoeken waarvan de rechthoekszijden slechts één verschillen: ( a , a+1 , c ), te beginnen met het drietal (3,4,5).

  • Begin met het drietal ( a , a+1 , c ) = ( 3 , 4 , 5 )
  • Bereken ieder volgend drietal ( A , A+1 , C ) recursief
    met A = 2c + 3a + 1
    en C = 3c + 4a + 2

Recept

Fermat bedacht onderstaand recept voor het vinden van primitieve Pythagoreïsche drietallen waarvan de eerste twee getallen slechts één verschillen: ( a , a+1 , c ). Op het eerste gezicht is het een wonderlijk recept. Als je een paar getallen uitrekent, zal je zien dat het klopt. Door bij opdracht 1 de vergelijkingen uit te schrijven zal je zien dat het recept altijd waar is.

In primitief zit het woord priem. Een drietal is een primitief drietal als het geen gemeenschappelijke factor heeft. De grootste gemeenschappelijke deler, kortaf ggd, is dan één. De delers van ieder van de drie getallen zijn dan andere priemgetallen.

Fermat gebruikte een oud recept om iteratief de waarde van √2 uit te rekenen. Dat recept was gebaseerd op recht­hoekige driehoeken die bijna gelijkbenig zijn: de ene rechthoekszijde is één langer dan de andere: a en a+1!

Opdracht 1


Voorbeelden bij de formule van Fermat

Onderstaande tabel bevat de eerste twintig primitieve drietallen volgens de recursieve formule van Fermat voor drietallen.

aa+1c



345
202129
119120169
696697985
405940605741
236602366133461
137903137904195025
8037608037611136689
468465946846606625109
273041962730419738613965
159140519159140520225058681
9275389209275389211311738121
540609300354060930047645370045
315090191003150901910144560482149
183648021599183648021600259717522849
107037911049610703791104971513744654945
623862664137962386266413808822750406821
363613807377803636138073778151422757785981
211929657785303211929657785304299713796309065
123521656597404012352165659740411746860020068409

Deze getallen groeien bijzonder hard aan. Ook computers hebben er moeite mee. Op internet staan verschillende lijstjes van getallen die aantoonbaar onjuist zijn. Ze zijn vaak te herkennen aan de nullen als laatste cijfers van de getallen. Die nullen suggereren dat de grootste gemene deler een tiental of zelfs honderdtal is.

Girard

Girard was een Frans wiskundige die vanaf 1626 als vestingbouwer en landmeter werkte in het leger van Prins Frederik Hendrik. Hij heeft werk van Simon Stevin in het Frans vertaald en aangevuld. Gelijktijdig met Frans van Schooten Senior heeft hij "Tabulae sinuum ..." en "Fortification ou Architectvre militaire tant offensive que deffensive" gepubliceerd, in dezelfde jaren, maar bij verschillende drukkers.

Dresden: Opera Mathematica ou Oeuvres Mathematiques traictans De Geometrie, Perspective, Architecture, et Fortification
Wikipedia: Girard

Fermat

Fermat is vooral bekend door de naar hem vernoemde laatste stelling van Fermat. Samen met René Descartes was Fermat één van de twee leidende wiskundigen van de eerste helft van de 17de eeuw.

Wikipedia: Fermat

Oeuvres des Fermat

Op bladzijde 224 van Oeuvres II staat de hint van Fermat.

 

 

top


Opdrachten

Beide opdrachten toetsen de algebraïsche vaardigheden.



Opdracht 1

De recursieve formule maakt opvolgende drietallen.

  • Begin met het drietal ( a , a+1 , c ) = ( 3 , 4 , 5 )
  • Bereken ieder volgend drietal ( A , A+1 , C ) recursief
    met A = 2c + 3a + 1
    en C = 3c + 4a + 2

Bewijs met algebra dat ieder drietal dat met deze recursieve formule gemaakt is een Pythagorees drietal is.

  1. Antwoord

    • Opdracht

      Bewijs met algebra dat ieder drietal dat met deze recursieve formule gemaakt is een Pythagorees drietal is.

      Antwoord

      Te bewijzen voor A = 2c + 3a + 1 altijd C = 3c + 4a + 2
      Te beginnen( 3 , 4 , 5 ) voldoet aan a² + (a+1)² = c²
      Zodoende2a² + 2a + 1 = c²
      En dus ookc² − 2a² − 2a − 1 = 0
      UitA = 2c + 3a + 1
      volgtA² = (2c + 3a + 1)²
      en dusA² = 4c² + 12ac + 4c + 9a² + 6a + 1
      UitA + 1 = 2c + 3a + 2
      volgt(A+1)² = (2c + 3a + 2)²
      en dus(A+1)² = 4c² + 12ac + 8c + 9a² + 12a + 4
      OpgeteldA² + (A+1)² = 8c² + 24ac + 12c + 18a² + 18a + 5
      Tel daar bij op  0 = c² − 2a² − 2a − 1
      GeeftA² + (A+1)² = 9c² + 24ac + 12c + 16a² + 16a + 4
      en dat isA² + (A+1)² = (3c + 4a + 2)²
      OmdatA² + (A+1)² = C²
      volgt hieruit dat  C = 3c + 4a + 2
      Hetgeen te bewijzen was.

top


Opdracht 2

Dickson beschrijft de oplossingsstrategie van Hart.
Hart kreeg de geniale inval om gehele getallen p, q en d te introduceren, waarbij

c = ap− 1
q
en d = p² − 2q² met d = ±1.

Als d = 1 dan is het drietal ( a , a +1 , c ) en als d = −1 dan is het drietal ( a−1 , a , c )

  1. Voorbeelden

    • Voorbeelden

      Hieronder staan getallenvoorbeelden met geschikte p en q.

      pqdaa+1c 






      11-1345
      321202129
      75-1119120169
      17121696697985
      4129-1405940605741
      99701236602366133461
      239169-1137903137904195025
      57740818037608037611136689
      1393985-1468465946846606625109
      336323781273041962730419738613965
      81195741-1159140519159140520225058681
      196011386019275389209275389211311738121
      4732133461-1540609300354060930047645370045
      114243807821315090191003150901910144560482149
      275807195025-1183648021599183648021600259717522849

Opdracht is om aan te tonen dat
a = 2q(p + q)
d
een oplossing is van a² + (a+1)² = c²
  1. Antwoord

    • Opdracht

      Opdracht is om aan te tonen dat
      a = 2q(p + q)
      d
      een oplossing is van a² + (a+1)² = c²

      Antwoord

      a² + (a+1)² = c²
       
      stelling van Pythagoras
      a² + (a+1)² = (ap− 1)²
      q
      substitutie van c
      a² + a² + 2a + 1 = − 2ap
      q²q
      +1
      haakjes wegwerken
      2a² + 2a = p²− 2ap
      q²q
      gelijknamige termen samennemen of schrappen
      a² (2 −p² ) + a (2 + 2p) = 0
      q²q
      alles naar links en nul stellen
      a² (2q² − p²) + a (2q² + 2pq) = 0 
       
      vermenigvuldigen met q²
      a² + a(2q² + 2pq)= 0
      (2q² − p²)
      delen door de factor voor a²
      a² = a2q(p + q)
      (p² − 2q²)
      schrijven als a² = factor × a
      a² = a2q(p + q)
      d
      substitutie door d
      a = 2q(p + q)
      d
      delen door a geeft de gevraagde oplossing

Opdracht 3

Laat met een berekening zien dat bij de opeenvolgende Pythagorese drietallen het quotiënt van langste zijde en rechthoekszijde steeds dichter bij √2 komt te liggen.


Opdracht 4

Bewijs dat √2 niet te schrijven is als een breuk.
Wiskundigen noemen √2 daarom een irrationaal getal: niet rationaal, geen ratio, geen breuk.

Wikipedia: bewijs

Dickson

De wiskunde achter deze formule is door Dickson beschreven in zijn "History of the theory of numbers" op bladzijde 182.

Dickson: History of the theory of numbers

Heath

In "A manual of Greek mathematics" schrijft deze Engelse professor over de geschiedenis van formules voor Pythagorese drietallen.

Google Books