www.fransvanschooten.nl

Heath

In "A manual of Greek mathematics" schrijft deze Engelse professor over de geschiedenis van formules voor Pythagorese drietallen.

Google Books

David E. Joyce

Deze Amerikaanse professor heeft een website vol informatie en applets over de stellingen van Euclides.

Euclides Boek X propositie 29

Euclides en Pythagoreïsche Drietallen

Pythagoreïsche drietallen zijn drietallen (a,b,c) met a² + b² = c². Drietallen zijn op verschillende manieren te vinden, bijvoorbeeld door van alles te proberen, met de hand of met hulp van een computer. De oude Babyloniers en de oude Grieken, Pythagoras, Plato en Euclides kenden lang voor de jaartelling bepaalde formules.

Lees over Babylonische kleitabletten
Lees ook het recept van Plato
Lees ook het recept van Pythagoras
Lees ook het recept van Fermat

Recept van Euclides

  • Neem geheel­tallige m en n, met m > n
  • Bereken rechthoekszijde a = m² − n²
  • Bereken rechthoekszijde b = 2mn
  • Bereken langste zijde c = m² + n²

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Opdracht

Bewijs met algebra dat je met het recept van Euclides altijd Pythagorese drietallen maakt.

  1. Antwoord

    • Opdracht

      Bewijs met algebra dat je met het recept van Euclides altijd Pythagorese drietallen maakt.

      Antwoord

      Gegeven a = m² − n²
      en b = 2mn
      Omdat a² + b² = c²
      dus c² = (m² − n²)² + (2mn
      dus c² = m4 − 2m²n² + n4 + 4m²n²
      dus c² = m4 + 2m²n² + n4
      dus c² = (m² + n²)²
      Conclusie: c = m² + n²


 

Ingeschreven cirkel

Een bijzondere eigenschap van een geheel­tallige recht­hoekige driehoek is dat de straal van de ingeschreven cirkel ook geheel­tallig is. Hieronder staan twee verschillende afleidingen om tot een formule voor de straal van de ingeschreven cirkel te komen.

Ingeschreven cirkel: loodlijnen

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel is het snijpunt van de drie deellijnen. De drie lijnen die loodrecht op de zijden staan en door dat middelpunt gaan, verdelen de zijden in gelijke stukken.

a = x + y en b = x + z en c = y + z

Na substitutie blijkt dat x = ½(a + b − c).

In een recht­hoekige driehoek geldt r = x en na substitutie ontstaat

r = ½(m² − n² + 2mn − (m² + n²)) = ½(2mn − 2n²)

Over blijft r = n(m − n)

Ingeschreven cirkel: oppervlakte

De oppervlakte O van recht­hoekige driehoek ABC kan op twee manieren berekend worden:

  • O = ½(a × b)
  • O = ½(a × r) + ½(b × r) + ½(c × r) zodat O = r × ½(a + b + c)
  • De halve omtrek wordt ook wel de semiperimeter, s, genoemd:
    s = ½(a + b + c) = m² + mn = m(m + n)
  • Hieruit volgt dat
    r = a × b = (m² − n²) × (2mn)
    a + b + c 2m(m + n)
  • Omdat (m² − n²) = (m + n)(m − n)
    kan de vergelijking herschreven worden tot:
    r = (m + n)(m − n) × (2mn)
    2m(m + n)
  • Deze breuk kan vereenvoudigd worden, zodat r = n(m − n)

Omdat m en n geheel­tallig zijn, is het verschil dat ook en het produkt eveneens. Conclusie is dat de straal van een geheel­tallige recht­hoekige driehoek altijd geheel­tallig is.

top


Euclides boek X propositie 29

Verschillende wiskundigen interpreteren het werk van Euclides op verschillende manieren. Volgens sommigen voegt Euclides aan zijn formule een vergrotingsfactor k toe en werkt hij met factor ½. Dan staat er:
a = ½k(m² − n²)
b = kmn
c = ½k(m² + n²)

top


Viète Opera Mathematica

Frans van Schooten kende het recept van Euclides voor Pythagoreïse drietallen. In 1646 publiceerde hij "Viète Opera Mathematica". Hiernaast zie je een deel van bladzijde 34 met de formules.



 

top


Voorbeelden bij het recept van Euclides

Onderstaande tabel bevat de eerste twintig driehoeksgetallen volgens de Griekse formule voor drietallen: ( m²−n² , 2mn , m²+n² ), waarbij m > n.

Uit m = 2 en n = 1 volgt dat a = 3, b = 4, c = 5, en r = 1.
Uit m = 3 en n = 2 volgt dat a = 5, b = 12, c = 13, en r = 2.

(3-4-5)        
(8-6-10)(5-12-13)
(15-8-17)(12-16-20)(7-24-25)
(24-10-26)(21-20-29)(16-30-34)(9-40-41)
(35-12-37)(32-24-40)(27-36-45)(20-48-52)(11-60-61)
(48-14-50)(45-28-53)(40-42-58)(33-56-65)(24-70-74)(13-84-85)
(63-16-65)(60-32-68)(55-48-73)(48-64-80)(39-80-89)(28-96-100)(15-112-113)
(80-18-82)(77-36-85)(72-54-90)(65-72-97)(56-90-106)(45-108-117)(32-126-130)(17-144-145)
(99-20-101)(96-40-104)(91-60-109)(84-80-116)(75-100-125)(64-120-136)(51-140-149)(36-160-164)
(120-22-122)(117-44-125)(112-66-130)(105-88-137)(96-110-146)(85-132-157)(72-154-170)(57-176-185)
(143-24-145)(140-48-148)(135-72-153)(128-96-160)(119-120-169)(108-144-180)(95-168-193)(80-192-208)
(168-26-170)(165-52-173)(160-78-178)(153-104-185)(144-130-194)(133-156-205)(120-182-218)(105-208-233)
(195-28-197)(192-56-200)(187-84-205)(180-112-212)(171-140-221)(160-168-232)(147-196-245)(132-224-260)
(224-30-226)(221-60-229)(216-90-234)(209-120-241)(200-150-250)(189-180-261)(176-210-274)(161-240-289)
(255-32-257)(252-64-260)(247-96-265)(240-128-272)(231-160-281)(220-192-292)(207-224-305)(192-256-320)
(288-34-290)(285-68-293)(280-102-298)(273-136-305)(264-170-314)(253-204-325)(240-238-338)(225-272-353)
(323-36-325)(320-72-328)(315-108-333)(308-144-340)(299-180-349)(288-216-360)(275-252-373)(260-288-388)
(360-38-362)(357-76-365)(352-114-370)(345-152-377)(336-190-386)(325-228-397)(312-266-410)(297-304-425)
(399-40-401)(396-80-404)(391-120-409)(384-160-416)(375-200-425)(364-240-436)(351-280-449)(336-320-464)

Opvallend is dat in iedere kolom bij de eerste drietallen a < b < c maar daarna b < a < c.



mnrabc 






211345
etcetera...
 
Vul in m en n, bereken de lengte van de zijden a, b en c.
         



zie ook de lange lijst