www.fransvanschooten.nl

Omdat ... Daarom ... Dus ...

Een meetkundige redenering bouw je op in kleine, overzichtelijke stappen. Je begint allereerst met op te schrijven wat gegeven is, want dat is alles waar je vanuit mag gaan. Daarna bouw je de redenering op. Die sluit je af met de conclusie dat je het gevraagde bewezen hebt.
In de redenering gebruik je herhaaldelijk Omdat ... Daarom ... Dus .... In iedere Dus bewijs je iets nieuws. Dat wat je zojuist bewezen hebt, kun je in een volgende Omdat gebruiken om een nieuwe redenering Daarom te maken. Vaak levert de Daarom extra informatie op. Die extra informatie schrijf je op in de Dus. Zo kom je iedere keer een stap dichter bij het doel.
Uiteraard sluit je af met je conclusie: dat je bewezen hebt wat je wilde bewijzen.

Metselen
Historie
voorbeeld

 

Metselen van een muur

Het opschrijven van een bewijs lijkt op het metselen van een muur. Je begint met de onderste rij met stenen. Daar rust de rest van de muur op. In een meetkundige redenering doe je net zo: je begint met op te schrijven wat gegeven is. Dat is je basis. Vervolgens moet iedere steen op een andere steen gemetseld worden. Zo bouw je ook een redenering op. Iedere steen is een Omdat ... Daarom ... Dus ..... Iedere steen rust op een andere steen. Iedere stap in de redenering bouwt verder op een of meer voorgaande stappen.

Tip is om de stappen te nummeren. Zo kun je in iedere Omdat verwijzen naar de nummers uit voorafgaande Dus. Zo laat je precies zien hoe je bewijs is opgebouwd.


top


 

Historie

De geschiedenis van het meetkundig redeneren is al heel oud. Beroemd zijn de Griekse wiskundigen Thales, Euclides, Archimedes en Apollonius. Euclides leefde in Alexandrie. Dat ligt in Egypte. Hij is bekend om zijn systematische behandeling van de meetkunde. Euclides schreef "De Elementen", een boek uit dertien delen. Dat boek is logisch opgebouwd met definities, stellingen en bewijzen. In de 16de en 17de eeuw bewonderden mensen die rationaliteit. Van Schooten Junior verwees in zijn boeken altijd naar de proposities van Euclides. De stelling van Pythagoras is propositie 47 in boek I. Meetkundig redeneren in de stijl van Euclides is tot eind jaren zestig van de vorige eeuw een belangrijk onderdeel van het wiskunde programma geweest. Na die tijd is de klasssieke meetkunde grotendeels vervangen door andere wiskundige onderwerpen. Ook veranderd is de manier waarop meetkunde behandeld wordt. Nu staan centraal de concepten gelijk­vormigheid en vergroting. De opdrachten op deze website zijn daarop aangepast.


 

 

top


 

Voorbeeld van een redenering

 

Gegeven driehoek ABC met hoeken A, B en C, te bewijzen is dat de som van de drie hoeken een gestrekte hoek is, dat wil zeggen, twee keer een rechte hoek is, oftewel ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

  1. Verschuif lijn AB over lijn AC totdat de verschoven lijn door punt C gaat: alleen schuiven, niet draaien. Resultaat is een lijn evenwijdig aan zijde AB door punt C. Door de verschuiving is de hoek in punt A even groot als de hoek in punt C tussen lijn AC en de evenwijdige lijn. In de tekening zijn dat het onderste en het bovenste kruisje.
  2. Verschuif lijn AB over lijn BC totdat de verschoven lijn door punt C gaat: alleen schuiven, niet draaien. Door de verschuiving is de hoek in punt B even groot als de hoek in punt C tussen lijn BC en de evenwijdige lijn. In de tekening zijn dat het onderste en het bovenste rondje.
    Hiermee is bewezen dat F-hoeken altijd even groot zijn.
  3. Omdat overstaande hoeken even groot zijn, daarom zijn ook de Z-hoeken even groot.
  4. Punt C is het snijpunt van drie lijnen. Deze drie lijnen maken zes hoeken die samen 360° zijn. Drie aansluitende hoeken vormen samen een gestrekte hoek: 180°.
  5. Drie aansluitende punten zijn altijd gelijk aan de drie hoeken van driehoek ABC. Omdat de drie hoeken in punt C samen 180° zijn, een gestrekte hoek, daarom zijn ook de drie hoeken van driehoek ABC samen 180°.
  6. Omdat deze meetkundige redenering opgeschreven kan worden voor iedere driehoek, daarom zijn de drie hoeken van iedere driehoek samen 180°.

Hiermee is bewezen dat de som van de hoeken van een driehoek altijd samen 180° zijn.