www.fransvanschooten.nl

e-rara

ETH-Zurich heeft een goede digitale versie van de druk uit 1627 van Willem J. Blauw. Op Google Books staat een digitale versie van matige kwaliteit van de herdruk uit 1664, verzorgd door M. van Nispen.
 

e-rara 1627

Google Books 1664

De Tafelen van Sinus, Tangens, ende Secans, op den radius van 10000000

Frans van Schooten Senior schreef het boek "De Tafelen van Sinus, Tangens, ende Secans, op den radius van 10000000, met 't gebruyck der selven en spherische triangulen" De eerste druk verscheen in 1627. Het is een uitgebreid tabellenboek met een korte uitleg hoe te rekenen met sinus en tangens. In het voorwoord benadrukt Van Schooten het nut hiervan door te verwijzen naar praktijksituaties met moerassen

De eerste druk verscheen bij Willem J. Blauw in 1627. Daarna zijn meer drukken verschenen bij verschillende uitgevers. Iedere uitgave heeft een "Korte Instructie", anders gezet en met andere illustraties.

Een uitgebreide druk verscheen in 1664 bij Van Nispen. Daarin staan opdrachten over kerktorens die gedeeltelijk schuil gaan achter huizen en over plaatsen aan de andere zijde van een rivier.

Op basis van een onderzoek van Sanders naar de herkomst van de tabellen van Van Ceulen, is het waarschijnlijk dat Van Schooten de tabellen van Lansbergen overgenomen heeft. Opvallend is dat in alle aan Van Schooten gerelateerde drukken dezelfde fouten voorkomen die Sanders ontdekt heeft. Omdat Van Schooten een opvolger van Van Ceulen was, lag voor de hand dat Van Schooten zijn tabellen over had genomen, maar omdat de foute waarden van Van Ceulen niet bij Van Schooten voorkomen, lijkt dat niet waarschijnlijk. Van Nispen schrijft in 1664 dat hij maar twee of drie fouten had gevonden, maar het vergelijkingsmateriaal van Sanders laat zien dat de fouten uit 1627 er in 1664 nog allemaal inzaten.
Sanders, Tafelen voor de land-meters, Een zoektocht naar de bron van de goniometrische tabellen in Ludolph van Ceulens boek Vanden Circkel, 2012

Hieronder staat een overzicht van drukken en uitgevers. Tussen haakjes staan de namen van universiteitsbibliotheken met een exemplaar. Daarachter staan verwijzingen naar online exemplaren.

  • Tabulae sinuum tangentium secantium, ad radium 10000000, Met 't gebruyck der selver in rechtlinische triangulen, Frans van Schooten, Amsterdam, Blaeu, 1627;
    (Amsterdam UvA), Google Books Istituto e Museo di Storia della Scienza (Florence) ETH Zurich
  • Tabvlae sinvvm tangentivm secantivm, ad radium 10000000 / Fr. van Schooten ; Avec l'usage d'icelles es triangles plans, Frans van Schooten, Amsterdam, Blaeu, 1629
    (Amsterdam UvA)
  • Tabvlae sinvvm tangentivm et secantivm ad radium 10000000 : Met 't gebruyck der selver in rechtlinische triangulen / door Fr. van Schooten ; gecorrigeert ende int cort by gevoecht, d'ontbindinge der sphaerischer-triangulen, met noch eenige constige geometrische, ende polijgonaelsche questien door: J.J. Stampioen de Jonge Tot Rotterdam : by de Wed. van Matthijs Bastiaenss, 1632, (ligt in Groningen, Amsterdam UvA) Google Books
    (ligt in Groningen, Leiden, Amsterdam UvA)
  • Tabvlae sinvvm, tangentivm, secantivm, ad radivm 10000000 : met 't gebruyck der selve in rechtlinische triangulen ; Franciscus van Schooten, Amsterdam (Janssonius of Jan Janssen), 1639 (ligt in Museum Boerhaave, in Leiden en in Amsterdam UvA) Exemplaria over-sien ende verbetert.
    (Koninklijke Bibliotheek, Universiteit Leiden)
  • Tabulae sinuum, tangentium & secantium ad radium 10000000 : cum usu earundem in triangulis rectilineis. Amsterdami : Apud Ioan. & Conr. Blaeu, 1639
  • Tabulae sinuum tangentium, Schooten, Frans van, Johann Magirus, Amsterdam, 1640
    (ligt in Leiden, Amsterdam UvA) Bayerische StaatsBibliothek
  • De tafelen van sinus, tangens ende secans op den radius van 1000000 : met het gebruyck der selve, soo in platte als spherische triangulen / gedruckt na 't correctste exemplaer van F. Verschooten, Tot Dordrecht, Voor Mattheus van Nispen, Boeck-verkooper by de Nieuw-brugh. Anno 1664
  • Tabulae sinuum, tangentium, secantium ad radium 1.000.000 Rothomagi, 1672
    (ligt in Leiden)
  • Tabulae sinuum, tangentium et secantium ad radium 10 000 000 : met 't gebruyck der selve in rechtlinische triangulen, Franciscus van Schooten, Brussel, L. Marchant, 1683
    door Franciscus van Schooten ; van nieuws volgens de correcste ETH Zurich

In 1626 verschijnt een editie van Albert Girard bij Elsevier, maar die tabellen hebben twee significante cijfers minder (Tables des sinus, tangentes & secantes, selon le raid de 100000 parties). Drie jaar later verschijnen dezelfde tabellen in een Nederlandstalige uitgave, weer met twee cijfers minder: Tabulae sinuum, tangentium, et secantium ad radium 100000 : Met een nieuwe beschrijvinghe van de Trigonometrie ... , Albert Girard, s'Gravenhage, Elzevier, 1629. (Groningen)

Google Books

heeft een digitale versie van "De beknopte lant-meet-konst" uit 1662. Hierin staan dezelfde afbeeldingen als in "Tafelen van Sinus, ..." Beide boeken zijn uitgegeven door M. van Nispen.
 

vergelijking

Fauten

Van Nispen schrijft dat hij maar twee à drie fouten vond in de druk van 1627. Hij nodigde een ieder die een foutje ontdekte dat door te geven opdat hij de fout in de onverkochte exemplaren van zijn editie kon herstellen.

Boldriehoeksmeting

Van Nispen heeft ook een bijlage toegevoegd over driehoeksmeting op een bol. Hij sloot af met een opgave over de afstand tussen Amsterdam en Dantzig als de lengte en breedte coordinaten van beide steden gegeven zijn.

Google Books 1664


Editie 1664

Onderstaande illustraties zijn uit de editie van 1664 geselecteerd.

top



 

top



 

top



 

top



 

top



 

top



 

top



 

Editie 1627

Onderstaande transcripties zijn van de editie van 1627.


Korte Instructie deser Tafelen.

Dese tafelen zijn alleen vergaderde ghetallen, welcke door reeckeninghe ghevonden, ende alhier ordentlijck in drie verscheyden colomnen by malcander ghevoeght zijn; waer mede ten naesten by vertoont worden, de proportien der zijden, of forme, van alle de platte rechthoeckighe triangulen, van de minste tot de meesten, diemen met eenigh ghebruyckelick Instrument, nae de groote harer hoecken, op eene linie, of gemeene basis, soude connen formeren oft tellen.

Ende alsoo 'tgebruyck daer van is, om door behulp der selver, op't velt, uyt een bekende zijde, en hoecken, de onbekende of onbeganckelijcke zijden van soodanighe ghelijckformighe triangulen (drukfout), ende foo volghende oock van alle andere wijd oft scherphoeckighe, te meten oft uyt te reeckenen:

Soo is't, dewijl op't veldt met gheen Instrument oft boghe, zijnde eenichsins tot het gebruyck bequaem, de hoecken naerder connen ghemeten worden als op minuten: soo zijn mede alhier nae sulck vermoghen des Instruments, dese tafelen even soo wijdt uytghwstreckt en bereeckent, te weten in sulcke menichte van rechthoeckighe triangulen, alsser minuten van graden op t quadrant ofte vierdepart eens circkels connen ghestelt worden, min een: Soo dat de eerste ghetallen toonen de form eens rechthoeckighen triangels, diens scherpen hoeck nevens den basis is van 1 minuut, de volgende van 2, en de derde van 3 minuten &c. t'elckens alsoo opclimmende van een minuut meer, tot daer de scherpe hoeck is 89 grad. 59 min.

Nu voor de lengte der ghemeene linie of basis, diemen in't uytreeckenen en ghebruyck der tafelen Radius of halven diameter noemt, (van weghen een boghe, die tot beter verstandt in de selve wijdte uyt der scherpen hoeck, als zijn grootte beduydende, over de selve ghemaeckt ofte

bedocht wort) is genomen 10000000: sijnde een der ghetallen bequaemst tot het maecken en ghebruyck der selver, ofte dat alderlicht can worden gheaddeert, ghesubtraheert ghemultipliceert, ofte daer door ghedivideert. Ende tot overvloedigher gebruyck zijn de selve doorgaens uytghereeckent, alsoo dat daer door de form van elcken triangel op twee verscheyden manier kan ghestelt oft ghevonden worden: 'Twwelck eerstelijck gheschiet, alsinen de zijde over den rechten hoeck voor Radius neemt, ten anderen, als men d'een of d'andere sijde nevens den rechten hoeck daer voor ghebruyckt, waer doro dan de proportie van de andere zijden sulcker triangel haer t'elckens met verscheyden ghetallen vertoont; daer van de eerste colomne der Tafelen representeert beyde de sijden bysonder, na de eerste manier; Ende de tweede colomne de eene, en derde colomne de andere zijde des triangels, der andere manier.

Als by exempel: Van dese rechthoeckighe triangel ABC, wort nae

de eerste manier, de sijde BC over den rechten hoeck A genomen voor 10000000 of halve diameter van vveghen de boghe BD, beduydende xxxxx begrijpende de grootte van zijn teghenoverstaenden hoeck C, als hier 38 graden 20 minute; ofte des booghs CE, beduydende de grootte des hoecx B, sijnde van 51 graden 40 minuten. Dit alsoo sijnde, worden, van de Mathematicis, de andere zijden elcx ghenaemt Sinus, ende dat nae de grootte oft wijdte van elcx teghenoverstaenden hoeck of boghe BD, oft hoeck C, van 38 graden 20 minuten: En AC Sinus der boghe CE, oft hoeck B, van 51 graden 40 minuten, daervan in de tafelen, onder den tijtel Sinus, nevens 38 graden 20 minuten voor het ghetal der zijde AB bevonden wordt

6202356: ende nevens 51 gra.40 minuten voor īt ghetal der zijde AC 7844157 deelen des halven diametrs ofte zijde BC; alsoo dat, nae de eerste manier, de form deser triangel ABC beschreven wordt met BC 10000000, AB 6202356, en AC 7844157 deelen.

In de tweede manier, ofte daer een der zijden nevens den rechten hoeck A, als hier AC ghenomen wort voor halve diameter ofte 10000000, ende dan in deser leghte uyt het hoeckpunt C bedocht wordt de boghe AD, beduydende de grootte oft wijdte des hoecx C, daer van de zijde AB den selven boghe in A raekt, en de zijde BC in D doorsnijt: wort daerom de zijde AB ghenaemt Tangens, en BC Secans van de selven boghe oft hoeck C van 38 graden 20 minuten, welckers deelen in de tafelen, onder den titel Tangens voor e zijde AB wordt bevonden 7906973,

ende onder den titel Secans voor de zijde BC 12748344 deelen sulcx dat wederom de form deses triangels bekent is: te weten, als AC is 10000000; dan is AB 7906973, en BC 12748344 deelen.

Ofte alsmen de andere rechthoekzijde AB, neemt voor Radius oft 10000000, dewijl dan AC is Tangens, en BC Secans der boghe AD oft grootte des hoecx B van 51 graden 40 minuten, al dan de zijde AC zijn 12647060, en BC 16122905 deelen.

Ende alsoo inde practijck der metinghe dickwils ghebeurt, dat twee Sinusen te ghelijck moeten ghesocht worden, diens hoecken te samen 90 grad: ofte eenenn rechten hoeck doen, zijn de selve tot dien eynde, om die niet te moeyelijck en wijdt van malcander te soecken, alhier onder haer titel nevens malcanderen ghestelt; gelijck mede soodanighe twee tangentes,

als mede twee Secantes nevens malcander ghevoeght zijn; Soo dat dan d'eene helft der tafelen, te weten van 1 minut tot 45 graden, moeten ghesocht worden van voren nae achter, ofte van boven nae beneden, Ende van 45 graden tot 90 graden, van achter nae voor, ofte van onderen nae boven te tellen.

Wy hebben alhier dese tafelen ghestelt tegens den halven diameter van 10000000, als zeer bequaem om daer door in de practijck de alderwijdste distantien en onbeganckelijcke plaetsen (als waters, Moraschen, Bosschagien, en die soo groot mochten zijn alsmen ymmers soude connen oversien) tot een behoorlijcke seeckerheyt uyt te reeckenen.

Ende alsoo de selve by verscheyden andere mede zijn uytghegheven, soude ons doen hier schijnen onnut te sijn: maer om dat ick alle de ghene, die my noch ter handt ghecomen zijn, zeer incorrect heb bevonden, oock met vele merckelijcke fauten, soodanighe, die heel suyver gheroemt werden; Ende aen deser perfectie seer

veel is gheleghen, soo dar een yeder diese ghebruyckt daer op behoort te rusten en vast te gaen: Heb daerom de selve voor eenighen tijdt tot mijn particulier ghebruyck, met groote moeyte uyt haer differentien ghecorrigeert, alsoo dat ick seecker houde gheen eenighe faute daer in te zijn. Daerom, en door begeerte van eenighe liehebbers, heb niet connen naelaten, de selve door den druck ghemeen te maecken, in welcke mede soo nau en sorghvuldigh is gelet, dat daer door van der selven seeckerheyt niet en is te twijfelen. Heb alleen in't cort daer by gevoeght de meting der rechtlinische of platte triangulen, als zijnde 'tfondament der metingen van alle onghenaeckelijcke lengten en rechtlinische figueren, tot op een andere tijt, alsoo ick in dese materie wat verder hoop te schrijven.

Van't ghebruyck der Tafelen in't meten der platte Triangulen.

Dese trianguulen zijn driederley, als Rechthoeckigh, VVijdthoeckigh, en Scherphoeckigh, daer van de beschrijving na haer hoecken ghedaen vvordt inde 27,28 en 29 definitie des eertsen boecx Euclidis. De metingh des rechthoeckighe triangels is't fondament van beyde de andere, soo dat, om die te meten, elcx door een perpendiculaer in tvvee der selve triangulen moet ghestelt vvorden. Tot de beschrijving of teyckening harer form, sijn van de ses, sijden oft hoecken,drie der selve van noden te vveten. Als tvvee zijden ende hoeck tusschen beyden, nae de 4 Propositie. Ofte de drie zijden, na de 8 propos. Ofte eene zijde en tvve hoecken nae de 26 prop.des I boecx Euclidis. Door vvelcke bekende dinghen dan, de onbekende uytghereeckent oft gevonden konnen vvorden. Het fondament deser uytreeckeninghe is doorgaens gegront op de 32 en 47 prop.des I. en bysonder op de 4 prop.des 6 Boecx Euclidis: dat is, op 'tghebruyck van tvvee ghelijckformighe triangulen, daer van de eene door zijn'bekende palen op 'tveldt,met baeckens op zijn hoeckpunten,afgheteyckent, ende

de andere na deser form uyt de ghetallen der tafelen t'samen ghestelt vvordt. Maer alsoo inde uytreeckening van alle voorvallende metinghen seer noodigh is te vveten, hoe verre ofte teghens vvelcken Radius men dese tafelen ghebruycken sal, ten eynde men, sonder te overvloedigen oft vergheeffen arbeyt te doen, tot een vereyschte seeckerheyt mocht komen:

Soo is't datmen daer in sal handelen als met het meten der Circulen, tot vvelcke om haer grootten evenna ofte tot een behoorlijcke oft vereyschte seeckerheyt te vinden, men de proportionale ghetallen ghebruyckt van vveynigh oft veel letteren, nae dat de Circulen, diemen begheert te meten, kleen of groot zijn: Alsoo doet men mede met dese tafelen, de selve ghebruyckende teghens een korten of langhen radius,nae dat de voorkomende figueren kleen of groot, ofte in vveynigh of veel aen malkander hanghende triangles bestaen.

Maers soo yemandt die doorgaens, om den minsten arbeyt, teghens eenen radius als 10000 mocht comen te ghebruycken, en voorquam te meten een Triangel ABO, diens basis ongevaer bevonden vverde 1000, en perpend. 2000 Roeden, devvijl dan om de onseeckerheyt vande leste letter der tafelen, mede alhier op elcx, onseeckerheyt van een voet min of meer sal comen, sal'tselve verschil op de grootte des trianghels vvel 150 roeden, min oft meer, als zijnem vvaren inhoudt gheven.

Ende soo de selve triangel vvaer een deel

van een onoversienlijc vvater ABCDEFG, 't vvelck om te mete uyt een baeck O, by gissingh even vvijdt van alle hoecke ghestelt, tot in de selve, in triangels verdeeldt vverde, van vvelck alleen de zijde AB, en hoecken des trianghels konden ghemeten vvorden; Ende alsoo dan uyt dese triangel ABO alle de andere souden moeten vvorden gevonden, daer toe men in de uytreeckeningh moght ommegaen nae AG, komende alsoo eyndelijck vvederom aen ABO, soude bevonde vvorde dat BO, inde leste, niet overeencome oude, met de selve ghevonden, inde eerste uytreeckeningh.

VVant devvijl in't bereeckenen des triangels ABO, op de zijden AO en BO, eenigh verschil inde voeten comt, en dan uyt AO, de lengte OG, uyt dese de lengte OF ghevonden vvort, comende eyndelijck alsoo vveder aen BO, salmen bevinden, dat is verschil niet alleen van zijn eerste grootte blijven, maer eyndelijck soo seer ghemultipliceert en inghevvortelt sal zijn vvel tot op

een quantiteyt roeden, 'tvvelck dan een groot verschil op de gansche figuer gheven sal.

Ende om't selve soo veel moghelijck is te voorkomen, behoort men doorgaens inde uytreeckeningh alle linien te vinden teghens de uyterste deelen of greynen der roeden (ghelijck de hoecken gemeten zijn na de uyterste macht des Instruments, als minuten van graden) 'tvvelck alhier niet gheschien kan dan met de tafelen tegen 10000000 ende om de onseeckerheyt op de leste letter, teghens 10000000 te gebruycken.

Stevin in zijn tweede boeck der Cosmographie fol.148, schrijft van't ghebruyck deset tafelen, een manier inmeyningh aldus:

Dat de halve diameter ten naeste sal overeen komen met het ghetal der deelen, die de halve diameter des Instruments begrijpen kan van de alderminste deelen zijner boghe, ende alsoo hy mede de hoecken tot op minuten metet, soo doet dan de vierde part der circumferentie, ofte boghe des Instruments 5400 minuten, ofte der alderminste deelen daer in kan gedeelte vvorden, vvaerom de halve diameter begrijpen soude 3438 der selve deelen, vvelck ghetal mede soude zijn de halve diameter der tafelen, maer om zijn onbequaemheyt neemt daer toe het naeste en meeste der thienvoudighe ghetallen als 10000, segghende het selve te zijn het behoorlijck ghetal des halven diameters, vvaer teghens men de tafelen neven shet ghedeelde Instrument in minuten sal ghebruycken. Seyt vvijders, soo

men de hoecken tot op secunden ghemeten hadde, vindt die dn noodigh teghens den halven diameter van 1000000, ende op tertien teghens 100000000, ofte ten minsten teghens 10000000 te gebruycken.

Nu komen vvy tot de uytreeckeningh der triangelen, daer in vvy beginnen sullen aen den Rechthoeckighen, van vvelcken eene zijde en tvvee hoecken bekent zijn, als volght:

Sy van deze rechthoeckighe triangel ABC, de hoeck A recht, B 57 graden 36 minuten, en zijde AB 25 roeden, Vraghe nae de onbekende zijden en hoeck.

Hier toe soeckt eerst nyt de ghetallen der tafelen, sijn form, aldus: Laet die by't ghedacht zijn een rechthoeckighe triangel DEF, soomen daer van voor DF (die met de bekende AB overeen comt) steldt 10000, dan is DE (die met AC over een comt) 15757, als tangens, en EF (met CB over een comende) 18663 als secans des hoecx F ofte B van 57 grad.36 minuten.Dan vverckt voorts na de 4 prop.des 6 Boecx, als volght.

part DF 10000 lengte AB 25 partet DE 15757 EF 18663 komt voor de zijden AC 39.393 ⒓ CB 46.657 ⒓

Om nu te vinden den hoeck C, soo is't, devvijl A een rechte hoeck is, zijn dan na de 32 prop.des I, B en C een rechte hoeck t'samen, daerom den hoeck B, als 57 graden 36 minuten, van 90 grad.gesubtraheert, rest voor de hoeck C 32 gr.24 min.

Anders: na eeen ghemeene regel,

luydende aldus.

In alle triangelen, gelijck de Sinus van d'een hoeck tot zijn tegenoverstaende zijde, alsoo de Sinus van de andere hoecke, bysonder, tot elcx tegenoverstaende zijde: ende te contrary.

Daerom

Ghelijck 5358, sinus des hoecx C, tot 25, sijn teghenoverstaende zijde AB: alsoo 10000 sinus des rechten hoecx A, tot de zijde BC, en 8443 sinus des hoecx B, tot de zijde AC, ghevvrocht nae den reghel, comen de selve onghevaer als boven.

Bewijs.

Zy de zijde AB ghestelt van C tot D, ende in dese vvijtte, uyt de hoeckpunten A ende C gemaect de boghen BG en DF, dan treckt uyt D den perpend. DE, sijnde sinus des booghs DF oft hoecx C, en AB sinus der boghe BG oft rechten hoecx A.

Gelijck dan (na de 4 des 6) DE, sinus des hoecx C, tot CD, dat is zijn tegenoverstaende zijde AB, alsoo AB, sinus des rechten hoecx A, tot CB, zijn teghenoverstaende zijde.

Exempelen daer tvve zijden ende eene hoeck bekent sijn.

Sy, van de triangel ABC, de hoeck A recht, de zijde AC 120, en AB 200 roeden, vraghe na de anderen hoecken en zijde.

Sy DEF, de triangel der tafelen, ghelijckformigh met ABC, daer van neemt dat DF zy 10000, dan is DE tangent des hoecx F oft C, dese vindt dan aldus:

AC part DF AB
120
10000
200

comt voor DE 16667 partes, vvelcke in de tafel tangent gesocht, ten naesten by gevonden vvort, nevens 59 grad. 2 min. vvelcken de grootte des hoecx C, dese dan getrocken van 90 gr. rest voor de hoeck B 30 gr. 58 min.

De zijde BC vint als volght.

DF lengte AC secans BC
100000
120
19435
120

388700
19435

Komt zijde BC233|22 (2)

Anders vint BC na de 47 pro.des 1. aldus.

  quadraet  
40000 AB
14400 AC
}Add.

54400 BC

, hier uyt de quadraet- vvortel, komt 233.23 (2) vveynigh meer als boven, voor BC.

Ander exempel.

Sy, van de triangel ABC, de hoec A recht de zijden AB 150, en BC 180 roeden, vrage na de andere hoecken en zijde.

Sy wederom, uyt de tafelen, DEF

gelijckformigh met ABC, alsoo dat EF de halve diameter ofte 10000 sy, dan is ED sinus des hoecx F ofte C, dese vint dan aldus:

BCpart.EFAB }comt 8333 
180
10000
150

vvelcke in de tafel sinus ten naesten by bevonden vvort neves 56 g. 26 m. zijnde de grootte des hoecx C, dese van 90 gr. getrocken, rest voor den hoeck B, 33 gr. 34 mi. De zijde AC vint aldus:

  part.EF BCSinus DE 
10000
180
5529
180

442320
5529
Komt zijde AC99 | 5220

Anders na de 47 des 1.

  Subtr.{ quadraet
32400 BC
22500 AB

 
Rest9900 AC.

, hier uyt de quadraet vvortel , komt vveynigh min als boven, voor de zijde AC.

Inde Rechthoeckighe triangel, daer de zijden bysonder bekent zijn, vvorden de hoecken bysonder na de manieren der voorgaende

exempelen ghevonden, daerom onnoodigh alhier exempelen van te stellen.

Sullen daerom comen tot de Scherphoeckighen triangel, daer van eerstelijck mede eene zijde en twee hoecken bekent ghegeven vvorden als volght.

Sy, van dese triangel ABC, de basis AC 500 roeden, en hoecke A 67 gra. 18 min. B 38 gra. 54 min, vraghe na de andere zijde en hoeck.

Hier toe vvort de triangel, door een perpend. 'uyt een der hoecken op zijn teghenoverzijde vallende, ghestelt in tvvee rechthoeckighe triangelen, als hier bequaemst door den perpendic. BD in beyde rechthoeckighe triangulen ABD en DBC.

Soomen nu den gemeene perp. BD neemen voor halve Diameter als 100000, en daer mede maect den boge EDF; dan is AD 41831 als tangens, en AB 108397 secans des hoecx ABD, doende (na de 32 des 1.) 22 gr. 42 mi. Ite DC 123931 als tangens, en BC 159245 secans des hoecx DBC, zijnde 51 gra. 6 min.

Voorts vverckt als volght:

part. BDlengte BDpart 
100000
301.637 (3){AB 108397
BC 159245
komtvoor{AB 326.965 (3)
BC 480.942 (3)

Voorts de hoecken ABD 22 gra.42.min. en DBC 51 gra.6 min.t'samen gheaddeert, comt voor de hoeck B 73 grad.48.min.

Anders door de voorgaende regel,
als volght:

Ghelijck 96029, sinus des hoecx B, tot zijn tegenoverzijde AC 500 (0); alsoo 92254 sinus des hoecx A

Voorts vindt den perpend. BD, aldus.

Sinus ABlengte ABSinus BD 
100000
326.964 (3)
92254.
92254   

1307856
1634820 
653928  
653927   
2942676    

301.63736856 (8)
perp.BD, als boven.

Exempel, daer tvve zijden ende de hoeck tusschen beyde bekent zijn,

Sy, van de triangel ABC de zijden AB 100, AC 170 r. en hoeck A 64 gr., te vinde de andere hoecke en zijde.

Sy de selve triangel ABC uyt de hoec B (ofte C, 'tvvelc alhier ghelijck is) door den perpen. BD, gestelt in tvvee rechthoeckige triangule ABD en DBC: Somen nu van ABD de zijde AB neemt voor 100000, dan is BD (sinus des hoecx ABD) 43837. Daerom:

ABSinus(2)
100000
100{89879
43837
}comt {BD
AD
  89.879
43.837
 

Om den hoeck C te vinden, soo treckt AD van AC, rest DC 126.163 (3) dese

voor radius nemende, is BD tangens des hoecx C, daerom:

DCpartesBD 
126.163 (3)
100000
89.879 (3)

comen 71240 partes, vvelcke inde tafel tangens ten naesten bevonden vvort nevens 35 gra. 28 min. sijnde dan de grootte des hoecx C, daerom, na de 32 des I, de hoec B is 80 g. 32 min.

De sijde BC can ghevonden vvorden na de 32 des I, ofte corter aldus: Neemt DC voor Radius, dan is BC secans des hoecx C, daerom stelt:

radiusDCsecans BC 
100000
126.163 (3)
122782

Komt voor de zijde BC 154.905 (3)

Alhier can ick niet voor by gaen een Regel te stellen, vvaer door seer licht de hoecke bysonder connen ghevonden vvorden, aldus:

Ghelijck de Somme van twee zijden, tot haer differentie; alsoo de tangens van de helft beyder teghenoverstaende hoecken, tot den tangens der differentio tusschen elcken hoeck ende de helft harer somme.

Verclaringh door ghetalen inden triangel ABC.
170AC170AC Tangens van 32 graden
100AB100ABCde helft beyder overstaende

170 somme
der zijden.

70 differ.
hoecken, B en C
160033 

Comt 41490 sijnde tangens van de grad. 32 min. differentie tusschen elcke hoeck en