www.fransvanschooten.nl

Zeteticorum Libri Quinque

François Viète (1540-1603) is een van de grondleggers van de algebra. Rond 1593 publiceerde Viète zijn Zeteticorum Libri Quinque vol algebra en meetkunde.

Het originele werk van Viète is beschikbaar gesteld door "Museo Galileo - Institute and Museum of the History of Science" (Florence).

Wikipedia NL
Wikipedia Engels
origineel 1591

Naast de opdrachten staan hieronder afbeeldingen uit het originele boek.





Zetetic 3-1

Gegeven het meetkundig gemiddelde M en het verschil V van twee onbekende getallen, het kleinste getal is A en het grootste getal is B.

Voorbeeld: gegeven zijn het meetkundig gemiddelde M = 6 en het verschil V = 16.
De gevraagde getallen zijn A = 2 en B = 18.
Het meetkundig gemiddelde van deze getallen is inderdaad de wortel uit het product van 2 en 18 en het verschil is inderdaad 18 − 2 = 16.

antwoord

  1.   
    • Opdracht

      Gegeven het meetkundig gemiddelde M en het verschil V van twee onbekende getallen, het kleinste getal is A en het grootste getal is B.

      Uitwerking

      Gegeven het meetkundig gemiddelde M en het verschil V.
      Voor het meetkundig gemiddelde M van de getallen A en B geldt dat A : M = M : B of anders geschreven
      A = M
      MB

      of
      M = 
      A × B

      Omdat het product P = A × B
      is P = M2.
      De uitwerking is nu zoals beschreven staat in de uitbreiding op liber secundus zetetic 4.
      Uit S2 = V2 + 4P
      volgt S = A + B.
      Vervolgens A = ½S + ½V
      en B = ½S − ½V.

      Zie liber secundus: zetetic 4.

      Voorbeeld

      Voorbeeld: gegeven zijn het meetkundig gemiddelde M = 6 en het verschil V = 16.
      Omdat P = M2, is P = 36.
      Uit S2 = V2 + 4P, volgt S  = 20,
      uit A = ½S − ½V volgt A = 2 en
      uit B = ½S + ½V volgt B = 18.

      Het meetkundig gemiddelde M is inderdaad
      A × B
       = 
      18 × 2
      = 6

      en het verschil V is inderdaad 18 − 2 = 16.

top


Zetetic 3-2

Gegeven het meetkundig gemiddelde m en de som S van twee onbekende getallen A en B.

Voorbeeld: gegeven zijn het meetkundig gemiddelde M = 6 en de som S = 20.
De gevraagde getallen zijn A = 2 en B = 18.
Het meetkundig gemiddelde van deze getallen is inderdaad de wortel uit het product van 2 en 18 en de som is inderdaad 18 + 2 = 20.

antwoord

  1.   
    • Opdracht

      Gegeven het meetkundig gemiddelde M en de som S van twee onbekende getallen A en B.

      Uitwerking

      Gegeven het meetkundig gemiddelde M en de som S.
      Uit
      M = 
      A × B

      volgt M2 = A × B
      Omdat het product P = A × B
      is P = M2,
      De uitwerking is nu zoals beschreven staat in liber secundus zetetic 4.
      Neem V2 = S2 − 4P
      zodat A = ½S + ½V
      en B = ½S − ½V.

      Voorbeeld

      Voorbeeld: gegeven zijn het meetkundig gemiddelde M = 6 en de som S = 20.
      Omdat P = M2, is P = 36.
      Uit V2 = S2 − 4P, volgt V  = 16,
      uit A = ½S − ½V volgt A = 2 en
      uit B = ½S + ½V volgt B = 18.

      Het meetkundig gemiddelde M is inderdaad
      A × B
      18 × 2
      = 6

      en de som S is inderdaad 18 +2 = 20.

top


Zetetic 3-3

Gegeven de lengte van de aanliggende zijde A en het verschil V tussen de lengte van de schuine zijde C en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

Voorbeeld: gegeven zijn de lengte van de aanliggende zijde A = 4 en het verschil V = 2.
De gevraagde getallen zijn B = 3 en C = 5.
Het verschil is inderdaad 5 − 3 = 2.
Tot slot, een driehoek met lengte van de zijden 3, 4 en 5 is inderdaad rechthoekig want 32 + 42 = 52.

antwoord

  1.   
    • Opdracht

      Gegeven de lengte van de aanliggende zijde A en het verschil V tussen de lengte van de schuine zijde C en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

      Uitwerking

      Gegeven de lengte A en het verschil V.
      Omdat V = C − B
      en omdat A2 + B2 = C2 (stelling van Pythagoras),
      is A2 = C2 − B2.

      Dit vraagstuk is gelijk aan liber secundus: zetetic 7: Gegeven het verschil V en het verschil van de kwadraten D van twee onbekende getallen, de grootste A en de kleinste B.

      Voorbeeld

      Gegeven zijn A = 4 en het verschil V = 2.
      Het verschil van de kwadraten D = A2 = 16.
       
      Uit
      S =D
      V
      volgt S = 8,
      uit A = ½S + ½V volgt A = 5,
      uit B = ½S − ½V volgt B = 3.
       
      Het verschil V is inderdaad 5 − 3 = 2
      en het verschil van de kwadraten D is inderdaad 52 − 32 = 16.

top



Zetetic 3-4

Gegeven de lengte van de aanliggende zijde A en de som S van de lengte van de schuine zijde C en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

Voorbeeld: gegeven zijn de lengte van de aanliggende zijde A = 4 en de som S = 8.
De gevraagde getallen zijn B = 3 en C = 5.
De som is inderdaad 5 + 3 = 8.
Tot slot, een driehoek met lengte van de zijden 3, 4 en 5 is inderdaad rechthoekig want 32 + 42 = 52.

antwoord

  1.   
    • Opdracht

      Gegeven de lengte van de aanliggende zijde A en de som S van de lengte van de schuine zijde C en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

      Uitwerking

      Gegeven de lengte A en de som S.
      Omdat S = C + B
      en omdat A2 + B2 = C2 (stelling van Pythagoras),
      is A2 = C2 − B2.

      Dit vraagstuk is gelijk aan liber secundus zetetic 8: Gegeven de som S en het verschil van de kwadraten D van twee onbekende getallen, de grootste A en de kleinste B.

      Voorbeeld

      Gegeven zijn A = 4 en de som S = 8.
      Het verschil van de kwadraten D = A2 = 16.
       
      Uit
      V =D
      S
      volgt V = 2,
      uit A = ½S + ½V volgt A = 5,
      uit B = ½S − ½V volgt B = 3.
       
      De som S is inderdaad 5 + 3 = 8
      en het verschil van de kwadraten D is inderdaad 52 − 32 = 16.

top


Zetetic 3-5

Gegeven de lengte van de schuine zijde C en het verschil V van de lengte van de aanliggende zijde A en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

Voorbeeld: gegeven zijn de lengte van de schuine zijde C = 10 en het verschil V = 2.
De gevraagde getallen zijn A = 8 en B = 6.
Het verschil is inderdaad 8 − 6 = 2.
Tot slot, een driehoek met lengte van de zijden 6, 8 en 10 is inderdaad rechthoekig want 62 + 82 = 102.

antwoord

  1.   
    • Opdracht

      Gegeven de lengte van de schuine zijde C en het verschil V van de lengte van de aanliggende zijde A en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

      Uitwerking

      Gegeven de lengte C en het verschil V.
      Omdat V = A − B
      en omdat A2 + B2 = C2 (stelling van Pythagoras),
      is dit vraagstuk gelijk aan liber secundus zetetic 5: Gegeven het verschil V en de som van de kwadraten K van twee onbekende getallen, de grootste A en de kleinste B.

      Voorbeeld

      Gegeven zijn C = 10 en het verschil V = 2.
      De som van de kwadraten K = C2 = 100.
       
      Uit S2 = 2K − V2 volgt S = 14,
      uit A = ½S + ½V volgt A = 8,
      uit B = ½S − ½V volgt B = 6.
       
      Het verschil V is inderdaad 8 − 6 = 2
      en de som van de kwadraten K is inderdaad 82 + 62 = 100 = 102.

top


Zetetic 3-6

Gegeven de lengte van de schuine zijde C en het verschil V van de lengte van de aanliggende zijde A en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

Voorbeeld: gegeven zijn de lengte van de schuine zijde C = 10 en het verschil V = 2.
De gevraagde getallen zijn A = 8 en B = 6.
Het verschil is inderdaad 8 − 6 = 2.
Tot slot, een driehoek met lengte van de zijden 6, 8 en 10 is inderdaad rechthoekig want 62 + 82 = 102.

antwoord

  1.   
    • Opdracht

      Gegeven de lengte van de schuine zijde C en de som S van de lengte van de aanliggende zijde A en de lengte van de overstaande zijde B van een rechthoekige driehoek, bereken de lengtes van de zijden.

      Uitwerking

      Gegeven de lengte C en de som S.
      Omdat S = A + B
      en omdat A2 + B2 = C2 (stelling van Pythagoras),
      is dit vraagstuk gelijk aan liber secundus zetetic 6: Gegeven de som S en de som van de kwadraten K van twee onbekende getallen, de grootste A en de kleinste B.

      Voorbeeld

      Gegeven zijn C = 10 en de som S = 14.
      De som van de kwadraten K = C2 = 100.
       
      Uit V2 = 2K − S2 volgt V = 2,
      uit A = ½S + ½V volgt A = 8,
      uit B = ½S − ½V volgt B = 6.
       
      De som S is inderdaad 8 − 6 = 2
      en de som van de kwadraten K is inderdaad 82 + 62 = 100 = 102.

top



Zetetic 3-7

Gegeven zijn twee getallen G en H met G > H.
Vind drie getallen A, B en C met A > B > C en
A=B
BC
.
Toon aan dat A = G2, B = G × H en C = H2 voldoet.
 

antwoord

  1.   
    • Opdracht

       

      Uitwerking

      Voorbeeld

top


Zetetic 3-8

Gegeven zijn drie getallen A, B en C met A > B > C en
A=B
BC
.
Toon aan dat de driehoek met zijden A + C, A − C en 2 × B rechthoekig is.
 

antwoord

  1.   
    • Opdracht

       

      Uitwerking

      Voorbeeld


top



Zetetic 3-9

Gegeven zijn drie getallen A, B en C met A > B > C en
A=B
BC
.
Toon aan dat de driehoek met zijden A + C, A − C en 2 × B rechthoekig is.
 

antwoord

  1.   
    • Opdracht

       

      Uitwerking

      Voorbeeld