Verwijder de kwadratische term
Viète bekeek de vorm
| x3 + 3 a x2 + b x + c = 0 |
met voor de kwadratische term de factor 3 a.
De kwadratische term verdwijnt door de substitutie
Substitutie leidt tot
| (t − a)3 + 3 a (t − a)2 + b (t − a) + c = 0. |
Haakjes wegwerken leidt tot
| ( t3 − 3 a t2 + 3 a2 t − a3 ) + 3 a ( t2 − 2 a t + a2 ) + b (t − a) + c = 0. |
en vervolgens tot
| t3 + ( b − 3 a2 ) t + ( 2 a3 − a b + c ) = 0 |
en daarna tot
| t3 + ( b − 3 a2 ) t = ( a b − 2 a3 − c ). |
Neem
en
Resultaat is de vergelijking
De kwadratische term is nu verwijderd uit de derdegraadsvergelijking.
Viète had een voorkeur voor de laatste uitdrukking.
Voor hem was een kwadratische vergelijking iets dat gaat over oppervlaktes met positieve uitkomsten en een derdegraadsvergelijking iets met kubussen met echte inhoud, dus met positieve getallen.
Moderne versies zijn vaak gebaseerd op nulstellen: de term 2 q komt dan links van het = teken, maar dan wel met een plus, dus
Gevolg is dat in zo een versie de waarde van q van teken wisselt.
Herleid
Substitueer
in
met als resultaat
| ( | p − u2 | )3 + 3 p ( | p − u2 | ) = 2 q. |
| u | u |
Haakjes wegwerken leidt tot
| p3 − 3 p2 u2 + 3 p u4 − u6 | + | 3 p2 u2 − 3 p u4 | − | 2 q u3 | = 0. |
| u3 | u3 | u3 |
Vereenvoudigen leidt tot
en tot
mits
Viète deed nog niet aan nulstellen. Hij zou de vergelijking opgeschreven hebben als
Herleid tot een kwadratische vergelijking
Substitueer
met als resultaat de kwadratische vergelijking
Viète deed nog niet aan nulstellen. Hij zou de vergelijking opgeschreven hebben als
Kwadraat afsplitsen
De vergelijking
kan met kwadraat afsplitsen opgelost worden.
Uit
volgt
Er zijn dus twee oplossingen voor v.
Voorwaarde is wel dat v ≠ 0 omdat u ≠ 0.
Worteltrekken
Nu v bekend is kan u uitgerekend worden want
dus
oftewel
Er zijn dus twee oplossingen voor u.
De oplossingen zijn derdemachtswortels van een getal en een wortel, waarbij zowel het getal voor de wortel als het getal in de wortel een breuk kunnen zijn.
Breuk uitrekenen
Nu u bekend is, kan t uitgerekend worden, want
.
Wanneer u een derdemachtswortel is van de samenstelling van een getal en een wortel, dan kan het herleiden van deze breuk veel werk zijn.
Herleid eerst
tot
en daarna tot
Vervolgens kan deze uitdrukking voor t ook geschreven worden zonder mintekens in de wortels, namelijk als
De uitwerking van deze oplossing kan tot verschillende problemen leiden
- uitrekenen van het verschil van twee derdemachtswortels
- meerdere oplossingen vanwege ±
- complexe getallen wanneer de som
Oplosssing van de derdegraadsvergelijking
Nu t in principe bekend is, kan x uitgerekend worden, want
De volledige formule voor de oplossing van de vergelijking
| x3 + 3 a x2 + b x + c = 0 |
is dan
Daarmee is voor Viète de derdegraadsvergelijking opgelost.
Na hem, kwam bijvoorbeeld bij Descartes het inzicht dat een derdegraadsvergelijking drie oplossingen kan hebben.
Viète hield het bij die ene positieve oplossing die de lengte van de zijde van een kubus voorstelt.
Voorbeelden Viète
|
Viète schreef op zijn manier in woorden wat nu geschreven zou worden als
waarbij A de onbekende is. (achter 3 B is in de oorspronkelijke tekst de letter A weggevallen)
In zijn cijfervoorbeeld staat de C voor de term
en de N voor de term t zodat de vergelijking is
De term
heeft Viète ingevuld, want 3 p = 81 en 2 q = 702 zodat
p3 = 273 = 19683 en q2 = 3512 = 123201.
De uitdrukking
is inderdaad 378 en als dat vermindert wordt met 351, is het verschil 27 conform
Vervolgens is 27 de derdemacht van 3, conform
Daarna rekende Viète
uit, conform
Tot slot stelde Viète vast dat N = 6.
|
|
| Viète behandelde ook de vergelijking
en stelde vast dat N = 4
en de vergelijking
en stelde vast dat N = 2,
maar dit zonder enige toelichting.
|
|
Mooie vergelijkingen
Bijzonder is dat er heel veel vergelijkingen
| x3 + 3 a x2 + b x + c = 0 |
zijn met mooie, geheeltallige oplossingen.
Die zijn er ook bij vergelijkingen waar ogenschijnlijk de derdemachtswortel getrokken wordt uit een samenstelling van getallen en wortels.
Altijd mooi uitkomen vergelijkingen waarvoor q = 0 of waarvoor p = 0.
Geval q = 0
Wanneer q = 0 dan is
Omdat
geldt t = 0
en omdat
geldt dus
x = − a.
Omdat
is q = 0 voor bepaalde combinaties van a, b en c, namelijk voor
Geval p = 0
Wanneer p = 0, dan geldt omdat
dat v = 0 of v = − 2 q.
Het geval v = 0 is geen echte oplossing want u ≠ 0 dus ook v ≠ 0.
Echte oplossing is
maar dat is vanzelfsprekend omdat voor p = 0 de vergelijking
overgaat in de vergelijking
Andere mooie geheeltallige oplossingen
Hieronder staan enkele voorbeelden van vergelijkingen met mooie geheeltallige oplossingen.
Begin met de vergelijking
,
bijvoorbeeld
| (x − 1)(x2 + 4x + 15) = 0, |
want deze heeft als reële oplossing en verder twee niet-reële oplossingen.
Herleid tot de vorm
| x3 + 3 a x2 + b x + c = 0 |
is dit de vergelijking
| x3 + 3 x2 + 11 x − 15 = 0. |
Na substitutie
met a = 1
ontstaat een vergelijking van de vorm
met als oplossing
| Met | a = 1 , b = 11 en c = −15 |
| heeft de vergelijking | t3 + 8 t = 24 | als oplossing |
Het is niet zo eenvoudig om in te zien dat deze uitdrukking gelijk is aan
Toch volgt uit
en uit
dat .
Ook mag het verbazing wekken dat er maar één oplossing is voor t,
terwijl in de formule een ± teken staat, wat wijst op mogelijk een dubbele oplossing.
In plaats van met het voorbeeld te laten zien dat een herleiding van de wortel echt oplevert t = 2,
kan het probleem ook opgelost worden door te beginnen met die t = 2
en te laten zien dat dit herleid kan worden tot die samengestelde uitdrukking.
Dit voorbeeld laat ook zien dat het logisch is dat beide uidrukkingen, de ene met een plus en de ander met een min toch tot hetzelfde leiden.
Neem
zodat
of anders geschreven
Dit is een vergelijking met w als onbekende, met als oplossing
Er zijn dus twee oplossingen voor w.
| Wanneer w tot de derde macht genomen geldt dat w3 =
| t3 + 3 p t |
±
|
| 2 |
,
| volgt dat w3 =
| 8 + 8/3×2 |
±
|
| 2 |
,
| en dat is aan elkaar gelijk. |
Ook voor andere getallen treedt dit effect op dat een som of verschil van twee derdemachtswortels, samengesteld uit een getal en een wortel, toch een mooi geheel getal oplevert.
Voor andere waarden van n uit ,
bijvoorbeeld voor w = 1 en m = 4
en voor n = 17, 18, 19, etc.
en bijbehorende waarden voor b, c, p en q,
namelijk b = 13, 14, 15, etc.,
c = -17, -18, -19, etc.,
3 p = 10, 11, 12, etc.,
en q = 14, 15, 16, etc.
zijn u en v ingewikkelde wortels,
is t samengesteld uit derdemachtswortels
en toch blijft x, de oplssing van dee vergelijking, geheeltallig, namelijk in dit geval x = 1.
Uiteraard geldt dit ook voor heel veel andere getallen.
Dit voorbeeld met zijn uitwerking geeft ook de verklaring dat beide oplossingen voor v en dus beide oplossingen voor u
toch één en dezelfde oplossing geven voor t en dus voor x.
Na Viète
Tot de komst van computers en rekenmachines is de algebraïsche aanpak van de derde- en vierdegraadsvergelijkingen nog lang populair geweest.
Gezocht wordt naar andere substituties of naar andere technieken, bijvoorbeeld complexe getallen of goniometrische verbanden.
Gelijktijdig wordt gezocht naar rekentechnieken die een goede benadering geven voor wortelvormen.
Pogingen worden gedaan om hogeregraadsvergelijkingen op te lossen met één simpele formule, maar de resultaten vielen tegen.
Daarom blijft de derdegraadsvergelijking in het onderwijs populair want de bijbehorende formules zijn moeijlijk genoeg voor de doelgroep.
In Nederland wijdt Jacob de Gelder in 1836 in zijn "Beginselen der stelkunst" een lang hoofdstuk aan dit onderwerp.
Alle kanten van de derdegraadsvergelijking worden uitvoerig belicht.
In de eerste helft van de twintigste eeuw schrijven Wijdenes en F. Schuh nog hele hoofdstukken over deze vergelijkingen voor de docent die studeert voor zijn aktes.
In de tweede helftvan de twintigste eeuw is de algebra van deze vergelijkingen voer voor historici.
Rond 1980 sluit T. Richard Witmer zijn studies naar Viète af met het boek "The Analytic Art", een complete vertaling met toelichting.
Tot slot plaatst J. Stedall het werk van Viète in een historische context.
In Nederland zijn het M. Kindt en J. Hogendijk die het onderwerp kubische vergelijkingen aandacht blijven geven om didactische redenen: mooie wiskunde met historische wortels die zich leent voor verdieping.
Literatuur
J. Stedall, From Cardano's great art to Lagrange's reflections: filling a gap in the history of algebra, European Mathematical Society, , 2011, blz 26
 Google Books
Witmer, The Analytic Art, Dover Publications, 2008, blz 286
Google Books
F.van Schooten, Viète Opera mathematica, Leiden, 1646,
De Emendatione Aequationum Tractatus Secundus, Caput VII (blz 149)
Google Books
J. de Gelder, Beginselen der stelkunst: ontworpen naar haren tegenwoordigen staat van ..., Amsterdam, 1836
Google Books
M. Kindt, H. Hietbrink, Het Avontuur dat Algebra heet, 2017,
Epsilon
| 
