www.fransvanschooten.nl

5 vwo wiskunde B

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 Cirkeleigenschappen


Uitwerkingen

De uitwerkingen zijn een co-productie van een docent en een oplettende klas.


 

top
 


Een logische opbouw

Het boek laat je eerst kennismaken met de stelling van de omtrekshoek, dan met de stelling van de constante hoek en pas daarna met de stelling van de koordenvierhoek. Hieronder staat een andere volgorde.

  1. Koordenvierhoek te bewijzen met hoekensom (bewijs staat hieronder, zie opdracht 14)
  2. Thales te bewijzen met een rechthoek (zie opdracht 8)
  3. Omgekeerde van Thales te bewijzen met gelijkbenige driehoeken (zie opdracht 9)
  4. Constante hoek te bewijzen met de koordenvierhoek (bewijs staat hieronder)
  5. Omtrekshoek te bewijzen met de koordenvierhoek (bewijs staat hieronder)
  6. Omgekeerde van koordenvierhoek te bewijzen met tegenspraak en de koordenvierhoek (zie opdracht 18)
  7. Omgekeerde van constante hoek te bewijzen met tegenspraak en congruentie (zie opdracht 11)

Op deze manier ontstaat een logische keten van bewijzen die op elkaar voortbouwen.

Koordenvierhoek

Een koordenvierhoek is een vierhoek waarvan de vier hoekpunten op één cirkel liggen.
Van iedere koordenvierhoek is de som van twee overstaande hoeken 180°

Bewijs: Vanuit middelpunt M heeft de koordenvierhoek vier gelijkbenige driehoeken. In iedere gelijkbenige driehoeken zijn de basishoeken gelijk. De som van alle acht hoeken is 360°.
A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
De som van de vier verschillende basishoeken is 180°.
A1 + ∠B1 + ∠C1 + ∠D1 = 180°.
De som van de overstaande hoeken
A + ∠C
 = ∠A1 + ∠A2 + ∠C1 + ∠C2
 = ∠A1 + ∠D1 + ∠C1 + ∠B1
 = 180°.

Conclusie is dat van iedere koordenvierhoek de som van twee overstaande hoeken 180° is.   zie opdracht 14


Omgekeerde stelling koordenvierhoek

Als de som van een paar overstaande hoeken van een vierhoek 180° is, dan is de vierhoek een koordenvierhoek.

zie opdracht 18

Constante Hoek

Op een cirkel met opeenvolgende punten A, B en C heeft ieder punt Q tussen A en C dezelfde hoek: ∠AQC = ∠ABC.

Bewijs: Omdat in een koordenvierhoek ∠B + ∠D = 180° en ook ∠Q + ∠D = 180° daarom ∠Q = ∠B.

Conclusie is dat bij gelijke koorde AC iedere hoek AQC even groot is.

…, mits punt Q op dezelfde boog AC is.
Op de formulekaart staat het zo:
Als punt C over een cirkelboog AB tussen de punten A en B beweegt, dan verandert de grootte van de omtrekshoek ACB niet.


Omgekeerde stelling van de constante hoek

Als punt D aan dezelfde kant van AB ligt als punt C en de hoeken ADB en ACB zijn even groot, dan liggen de punten C en D op dezelfde cirkelboog AB.

Omtrekshoek

Elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek

Bewijs: in onderstaand, bijzondere geval geldt volgens de stelling van de buitenhoek dat ∠M1 = ∠B2 + ∠C2. Omdat ∠B2 = ∠C2 daarom ∠C2 = ½ ∠M1.
Voor ieder punt Q op de lange boog is volgens de stelling van de constante hoek ∠AQB = ∠ACB.

Conclusie is dat de omtrekshoek half zo groot is als de bijbehorende middelpuntshoek.

NB: Als punt Q niet op de lange boog, maar op de korte boog ligt, dan is ∠AQB uiteraard niet ½∠M1 maar ∠AQB = 180° − ½∠M1. Hetgeen te bewijzen is met de stelling van de koordenvierhoek.

top
 


Thales

Als hoek C in ∆ABC recht is, dan ligt punt C op de cirkel met middellijn AB.

zie opdracht 8

Omgekeerde van Thales

Als punt C op de cirkel met middellijn AB ligt, dan is ∆ABC een rechthoekige driehoek met hoek C recht.

zie opdracht 9

top
 


opdracht T9

top
 


opdracht T8

top
 


opdracht T6

top
 


opdracht T5

top
 


opdracht T4

top
 


opdracht T3

top
 


opdracht T2

top
 


opdracht 35

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 35

top
 


opdracht 34

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 34

2

top
 


opdracht 33

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 33

Gegeven is een driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M en middellijn AMR. Punt H is het snijpunt van de hoogtelijn uit punt B en de hoogtelijn uit punt C.
Bewijs dat vierhoek CHBR een parallellogram is.

2

top
 


opdracht 32

docent uitwerking

uitwerking

uitwerking 32 c

Gegeven cirkel om middelpunt M en koordenvierhoek ABCD. Punt P is het snijpunt van de diagonalen AC en BD.
Bewijs dat ∠APB = ½ (∠AMB + ∠CMD).

uitwerking 32 f

Gegeven cirkel om middelpunt M en koordenvierhoek ABCD. Punt P is het snijpunt van de lijnen AD en BC.
Bewijs dat ∠APB = ½ (∠CMD − ∠AMB).

top
 


opdracht 31

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 31

Gegeven driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M,
en de ingeschreven cirkel met middelpunt I,
en punt D is het snijpunt van de omgeschreven cirkel en de bissectrice van hoek C.
Bewijs dat voor ieder punt C op de omgeschreven cirkel geldt dat de meetkundige plaats van punt I de cirkel met middelpunt D is door de punten A en B.

2

top
 


opdracht 30

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 30

Gegeven driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M,
de bissectrices van hoek B en hoek C die elkaar snijden in punt I,
en punt F is het snijpunt van de omgeschreven cirkel en de bissectrice van hoek C.
Bewijs dat |FI| = |FB|.

top
 


opdracht 29

uitwerking 29

Gegeven driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M.
Bewijs dat punt S, het snijpunt van de deellijn van ∠C met de middelloodlijn AB, ligt op de omgeschreven cirkel.

top
 


opdracht 28

docent uitwerking

geogebra

uitwerking 28

Gegeven cirkel om middelpunt M en koorde AB met punten P en Q met |AP| = |BQ| en snijpunten R en S van de cirkelrand met de lijnen MP en MQ.
Bewijs dat |PR| = |QS|.

2

top
 


opdracht 27

uitwerking 27

top
 


opdracht 26

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 26

Gegeven is driehoek ABC met de omgeschreven cirkel met middelpunt M.
Punt D is het midden van zijde BC.
Laat punt C de omgeschreven cirkel doorlopen.
Bewijs dat de meetkundige plaats van punt D een cirkel is.

top
 


opdracht 25

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 25

Gegeven cirkel met middelpunt M en een punt P binnen die cirkel.
Door punt P gaat een koorde AB met midden S.
Bewijs dat de meetkundige plaats van punt S een cirkel is.

top
 


opdracht 24

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 24

Gegeven is de omgeschreven cirkel van driehoek ABC met middelpunt M. De hoogtelijn uit punt A snijdt de overstaande zijde BC in punt D.

Geogebra laat een cirkel zien. De hoogtelijn uit punt A kan zowel binnen als buiten de driehoek vallen. In Geogebra is dat met kleurtjes aangegeven. Dat betekent dat je in het bewijs drie gevallen moet onderscheiden om aan te tonen dat de cirkel de meetkundige plaats is van alle punten D die het snijpunt zijn van de hoogtelijn uit punt A en (het verlengde van) de overstaande zijde BC.

top
 


opdracht 23

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 23

Gegeven is een cirkel met middelpunt M en de punten A en B op de cirkelrand.
Gegeven is ook punt P op de cirkelrand en punt X in het verlengde van lijnstuk BP met |AP| = |XP|.
Te bewijzen is dat voor ieder punt P op de cirkelrand ∠AXP = ½∠APB,
dat alle punten X op cirkels liggen en dat ook de punten A en B op die cirkels liggen.

Met Geogebra krijg je het vermoeden dat afhankelijk van of punt P op de lange of de korte boog is, punt X op de ene of de andere cirkelboog ligt. Nu moet je aan gevalsonderscheiding doen.

top
 


opdracht 22

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 22

Gegeven is driehoek ABC. De hoogtelijn uit punt C snijdt zijde AB in punt D. De cirkel met middelpunt M en middellijn CD snijdt zijde AC in punt E en zijde BC in punt F.
Bewijs dat vierhoek ABFE een koordenvierhoek is.

2

top
 


opdracht 21

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 21

In de gegeven figuur is ∠P = ∠Q = 90°.
Punt T is het midden van lijnstuk AS en punt U is het midden van lijnstuk BS.
Te bewijzen is dat vierhoek TUQP een koordenvierhoek is.

top
 


opdracht 20

2 2

top
 


opdracht 19

top
 


opdracht 18

uitwerking 18

Omdat je de koordenvierhoekstelling al bewezen heb, kun je die nu gebruiken om met tegenspraak te bewijzen dat als ∠A + ∠C = 180° dat dan punt D niet buiten of binnen de omgeschreven cirkel van ∆ABC kan liggen, want ook ∠B + ∠D = 180° (hoekensom vierhoek).

top
 


opdracht 17

Van vierhoek ABCD gaan de middelloodlijnen van drie zijden door één punt M.
Bewijs dat punt M ook op de middelloodlijn van de vierde zijde ligt.
Bewijs ook dat vierhoek ABCD een koordenvierhoek is.

uitwerking 17

Onderzoek eerst met geogebra een "gewone" vierhoek. Onderzoek daarna de betekenis van de middelloodlijnen voor de punten van de vierhoek.

top
 


opdracht 14

top
 


opdracht 13

Voor alle punten P op cirkelboog ACB is ∠APB = γ. Lijn l is de raaklijn in punt A aan de cirkel. Punt M is het middelpunt van de cirkel.

docent uitwerking

geogebra

uitwerking 13

Maak onderscheid tussen een scherpe hoek γ en een stompe hoek.

top
 


opdracht 11

docent uitwerking

uitwerking

Tegenspraak

Gebruik tegenspraak: er bestaat geen punt Q met ∠ACB = ∠AQB dat niet op de cirkel ligt.
dus liggen alle punten Q met ∠ACB = ∠AQB ALTIJD op de cirkel.
Conclusie: Alle punt Q met ∠ACB = ∠AQB liggen niet buiten, maar op de omgeschreven cirkel van ∆ABC.

2

top
 


opdracht 10

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 10

Gebruik de stelling van Thales, de omtrekshoek en de constante hoek.

top
 


opdracht 9

uitwerking 9

Opdracht is de omgekeerde stelling van Thales te bewijzen:
Als punt C op de cirkel met middellijn AB ligt,
dan is ∆ABC een rechthoekige driehoek met hoek C recht.

top
 


opdracht 8

docent uitwerking

uitwerking

geogebra

uitwerking 8

Opdracht is de stelling van Thales te bewijzen:
Als hoek C in ∆ABC recht is,
dan ligt punt C op de cirkel met middellijn AB.
 

Een rechthoek heeft een aantal prettige eigenschappen.
eigenschappen

top
 


opdracht 7

De hoek tussen een raaklijn en en koorde is gelijk aan de bij die koorde horende omtrekshoek.

2
2 2

top
 


opdracht 6

docent uitwerking

geogebra

uitwerking 6d

Veronderstel dat een raaklijn aan een cirkel niet loodrecht staat op de verbindingslijn van midden M en raakpunt R. Die veronderstelling leidt tot tegenspraak. Met de techniek van tegenspraak kun je bewijzen dat een raaklijn dus altijd loodrecht op de verbindingslijn staat, want de raaklijn kan niet niet loodrecht staan (let op de dubbele ontkenning).

2

top
 


opdracht 5

Twee evenwijdige lijnen snijden een cirkel. Daartussen worden de bogen AB en CD afgesneden.

docent uitwerking

geogebra

uitwerking 5a

Omdat lijn AC twee evenwijdige lijnen snijdt, daarom zijn er Z-hoeken en dus ∠BCA = CAD.
Omdat de omtrekshoeken even groot zijn, zijn ook de middelpuntshoeken even groot.
Omdat de middelpuntshoeken even groot zijn, zijn ook de bogen even groot.

uitwerking 5b

top
 


opdracht 3

docent uitwerking

uitwerking

Elke omtrekshoek is half zo groot als de bijbehorende middelpuntshoek

In een aantal stappen maak je de stelling van de omtrekshoek algemeen. Mijn uitwerking begint met een bijzonder geval die zich makkelijk laat bewijzen. Met dat bijzondere geval kun je vervolgens het algemene geval bewijzen.

top
 


opdracht 2