www.fransvanschooten.nl

6 vwo wiskunde B

Uitwerkingen Hoofdstuk 3 Conflictlijnen


Uitwerkingen

De uitwerkingen zijn een co-productie van een docent en een oplettende klas.


 

top
 


Meetkundige plaatsen

  • De conflictlijn tussen 2 punten is hun middelloodlijn.
  • De conflictlijn tussen evenwijdige lijnen is hun middenparallel.
  • De conflictlijn tussen 2 lijnen zijn de deellijn van hun snijpunt (meervoud!).
  • De conflictlijn tussen 2 lijnen en hun hoekpunt is een loodlijn
  • De conflictlijn tussen lijn en punt buiten die lijn is een parabool, waarbij de lijn richtlijn is en het punt het brandpunt.
  • De conflictlijn tussen lijn en een cirkel buiten die lijn is een parabool, waarbij het middelpunt van de cirkel het brandpunt is. (zie parabool
  • De conflictlijn tussen cirkel en punt binnen de cirkel is een ellips, waarbij dat punt een brandpunt van de ellips is.
  • De conflictlijn tussen cirkel en punt buiten de cirkel is een hyperbool, waarbij dat punt en het middelpunt van de cirkel brandpunt van de hyperbool zijn.
  • De conflictlijn tussen even grote cirkels is de middelloodlijn van hun middelpunten.
  • De conflictlijn tussen twee cirkels is een ellips of een hyperbool.

5 vwo H5 Meetkundige Plaats
PDF Meetkundige Plaats (Klingens)

top
 


opdracht T-7

top
 


opdracht T-6

top
 


opdracht T-4

top
 


opdracht T-3

top
 


opdracht T-2

top
 


opdracht T-1

top
 


opdracht 49

top
 


opdracht 48



Geogebra bij opdracht 48

Verdeel de inham

docent uitwerking

uitwerking

top
 


opdracht 47

Geogebra bij opdracht 47

Verdeel het land

top
 


opdracht 46

top
 


opdracht 45

Geogebra bij opdracht 45

Conflictlijn cirkel en lijn

top
 


opdracht 43

top
 


theorie blz 93


 

 

Even lange afstanden

Brandpunt F1 is gelijk aan middelpunt M van de richtcirkel.

Omdat d(P,V) = d(P,F2),
daarom d(M,P) − d(P,F2) = d(F1,P) − d(P,F2) = r.

Top T2 ligt exact halverwege de punten V2 en F2.
Toppen liggen dus nooit op de bijbehorende richtcirkel en kunnen ook niet samenvallen met de brandpunten.

De volgende afstanden zijn even lang: |F1T1| = |F2T2| = |V2T2|.
Gevolg is dat |MV| = |T1T2| = r.

top
 


opdracht 42

top
 


opdracht 40


 

 

Bewijs d(P,F) = d(P,c).

Nu gaan we bewijzen dat je met een touwtje een ellips maakt!

Gegeven |PF| + |PM| = r en punt V in verlengde van MP met |MV| = r.
Daardoor liggen alle punten V op cirkel c.
Omdat |MP| + |PV| = r = |PF| + |PM|,
daarom is |PF| + |PV|
en dus d(P,F) = d(P,c).

Lente van de assen

Het midden van de ellips is het punt midden tussen beide brandpunten.
Soms wordt dit punt ook aangeduid met de letter M, maar dat is verwarrend omdat M het midden van de richtcirkel is.
De afstand tussen het midden van de ellips en een brandpunt is c.
De afstand tussen de brandpunten is de brandpuntsafstand: |MF| = |F1F2| = 2×c.
De straal van de richtcirkel is |MV| = r.
De lengte van de lange as is |H1H2| = 2×a = r
De lengte van de korte as is |V1V2| = 2×b en volgt uit a² = b² + c².

top
 


opdracht 39

Geogebra bij opdracht 39

Conflictlijn cirkel en punt

Bewijs dit

Te bewijzen: Als d(P,F) = d(P,c) dan d(P,F) = d(P,V) voor ieder punt op cirkel c met straal r.

Punt P ligt op straal MV en |PF| = |PV|.
Daarom r = |MV| = |MP| + |PV| = |MP| + |PF|.
Conclusie: |PF| + |PM| = r.

top
 


opdracht 38

docent uitwerking

uitwerking

top
 


opdracht 37

top
 


opdracht 36

top
 


opdracht 35

top
 


opdracht 34

Geogebra bij opdracht 34

Constructie parabool

top
 


opdracht 33

top
 


opdracht 32

top
 


opdracht 30

Bewijs raaklijn

Te bewijzen is dat de middelloodlijn tussen de punten F en V raaklijn aan de ellips is.
Aanpak is aan te tonen dat er geen enkel ander punt op de middelloodlijn ligt dat ook op de ellips ligt.
Punt F is het ene brandpunt van de ellips, punt M is het andere brandpunt.
Punt P is een punt op de ellips zodat |MP| + |MF| = r.

  • Voor ieder punt R op de middelloodlijn geldt dat ∆PRF congruent is aan ∆PRV omdat de middelloodlijn tevens deellijn is van lijn PV en lijn PF.
  • Gevolg is dat |RF| = |RV|.
  • |RM| + |RF| = |RM| + |RV| > |MV| (driehoeksongelijkheid).
  • Omdat |MV| = |MP| + |PF|,
    daarom |RM| + |RF| > |MP| + |PF|.
  • Gevolg is dat geen enkel punt R op de ellips ligt.
  • Conclusie is nu dat de middelloodlijn tussen F en V de raaklijn aan de ellips is.

ellips

top
 


opdracht 26

Geogebra bij opdracht 26

Punten op één lijn

top
 


opdracht 24

top
 


opdracht 22

top
 


opdracht 20

top
 


opdracht 19

top
 


opdracht 18

top
 


opdracht 17

Geogebra bij opdracht 17

Iso-a-lijn

 

top
 


opdracht 15

Geogebra bij opdracht 15

Raaklijnenvierhoek

Definitie

Een raaklijnenvierhoek is een vierhoek waarvan de zijden raken aan een cirkel. Deze cirkel heet ingeschreven cirkel (incirkel) van de raaklijnenvierhoek.

Eigenschap

Het middelpunt van de ingeschreven cirkel van een raaklijnenvierhoek is het snijpunt van de bissectrices.

Stellingen

Als van een vierhoek de vier bissectrices door één punt gaan, dan is het een raaklijnenvierhoek.

Van een raaklijnenvierhoek zijn de sommen der overstaande zijden gelijk: |AB| + |CD| = |AD| + |BC|.

Als van een vierhoek de som van de overstaande zijden gelijk is, dan is het een raaklijnenvierhoek.

Zie ook: website Dick Klingens

top
 


opdracht 13

5 vwo B H5 opdracht 16: Van iedere veelhoek waarvan de hoekpunten op een cirkel liggen, gaan de middelloodlijnen door één punt gaan.

top
 


opdracht 10

Geogebra bij opdracht 10

Afstanden om een holle kwartcirkel

top
 


opdracht 9

Geogebra bij opdracht 9

Afstanden om een bolle kwartcirkel

top
 


opdracht 7

top
 


opdracht 5

docent uitwerking

uitwerking

Geogebra bij opdracht 5

Geen voetpunt
Twee voetpunten

Een opdracht waar veel meer in zit!

Als een punt geen voetpunt is, dan zijn er altijd andere punten dichterbij.
Als een punt meerdere voetpunten heeft, dan is de afstand tot beide voetpunten gelijk.

top
 


opdracht 3

top
 


opdracht 2

Geogebra bij opdracht 2

Gelijke afstand

top
 


opdracht 1

5 vwo B H5 opdracht 18: Van twee rakende cirkels liggen de middelpunten en het raakpunt op één lijn.
5 vwo B H5 opdracht 24: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.

top
 


opdracht V-7

Geogebra bij opdracht V-7

Gelijke hoeken

top
 


opdracht V-6

Geogebra bij opdracht V-6

Gelijke afstand

3 vwo B: Eigenschappen ruit.

top
 


opdracht V-3

5 vwo B H5 opdracht 14: Loodlijn op koorde: een loodlijn vanuit het middelpunt van een cirkel op een koorde deelt die koorde middendoor.
5 vwo B H5 opdracht 15: omgekeerde: een loodlijn op een koorde van een cirkel die die koorde middendoor deelt, gaat door het middelpunt van die cirkel.

top
 


opdracht V-2

In ∆ABC raakt de ingeschreven cirkel in de punten P, Q en R.

Aanpak:

Eerst moet je bewijzen dat de drie deellijnen door één snijpunt S gaan. Vervolgens moet je bewijzen dat het snijpunt S het middelpunt is van een cirkel die door de punten P, Q en R gaat.

5 vwo B H5 opdracht 11: deellijnen gaan door één punt
5 vwo B H5 opdracht 24: Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal naar het raakpunt.
5 vwo B H5 opdracht 32: Het middelpunt van de aangeschreven cirkel ligt op het snijpunt van de deellijn van de tegenoverstaande hoek en de buitendeellijnen van de hoeken van de zijde waaraan de aangeschreven cirkel raakt.
5 vwo B H5 opdracht T-2: De deellijn van hoek A en de buitendeellijnen van de hoeken B en C van driehoek ABC gaan door één punt: het middelpunt van de aangeschreven cirkel.

top
 


Examentraining

Op internet staat veel materiaal.
Lyceo
Math4All