|
- Gegeven is:
- LM = MN = LN.
- DF = FN.
- punt F is een punt op de omgeschreven cirkel om ∆LMN.
- punt O is snijpunt van lijn MN en lijn FL.
- Bereken ∠LFN.
Antwoord:
Omdat ∆LMN een gelijkzijdige driehoek is, heeft het drie even grote hoeken,
daarom ∠LMN = ⅓×180° = 60°
want 32 de hoekensom is 180°.
Volgens de stelling van de constante hoek III-21 is ∠LFN = ∠LMN en
daarom ∠LFN = 60°
- Toon aan dat ∆FLN een vergroting is van ∆LNO en dat dus ∠LON = ∠FNL.
Antwoord:
Beide driehoeken hebben hoek L gemeenschappelijk.
Omdat ∠LNM = 60° (constructie) en ook ∠LFN = 60° (stap 1) is dit paar overeenkomstige hoeken even groot.
Daarom is ook het derde paar hoeken even groot: ∠LON = ∠FNL = 60°
want 32 de hoekensom is 180°.
Dus zijn de driehoeken per definitie gelijkvormig. Daarom zijn ze een vergroting van elkaar.
- Bereken ∠LFM.
Antwoord:
Vierhoek LMFN is een koordenvierhoek omdat de vier punten op de cirkel liggen.
Volgens de stelling van de koordenvierhoek III-22 zijn overstaande hoeken samen 180°.
Daarom: ∠L + ∠LFM + ∠LFN = 180°
Omdat ∠L = 60° (constructie) en ∠LFN = 60° (stap 1) is ook ∠LFM = 60°.
- Toon aan dat ∆FLM een vergroting is van ∆LMO.
Antwoord:
Beide driehoeken hebben hoek L gemeenschappelijk.
Omdat ∠LMN = 60° (stap 1) en ∠LFM = 60° (stap 3), daarom is ook het tweede paar overeenkomstige hoeken even groot.
Dus is ook het derde paar hoeken even groot: ∠FML = ∠LOM
want 32 de hoekensom is 180°.
Dus zijn de driehoeken gelijkvormig. Daarom zijn ze een vergroting van elkaar.
- Leg uit waarom ∆LNO een vergroting is van ∆FMO en dat dus ∠FMO = ∠NLO.
Antwoord:
De overstaande hoeken in punt O zijn 15 even groot.
Omdat ∠LNO = 60° en omdat ∠MFO = ∠LFM = 60° (stap 3),
daarom is dit het tweede paar overeenkomstige hoeken.
Dus is ook het derde paar hoeken even groot: ∠FMO = ∠NLO,
want 32 de hoekensom is 180°.
Daarom zijn de driehoeken gelijkvormig. Dus zijn ze een vergroting van elkaar.
- Toon aan dat de factor waarmee ∆FMO vermenigvuldigd moet worden om ∆LNO te krijgen, even groot is als die waarmee ∆LMO vermenigvuldigd moet worden om ∆FLM te krijgen.
Antwoord:
Als driehoeken gelijkvormig zijn, dan VI-4 zijn alle zijden met dezelfde factor vermenigvuldigd.
Zowel ∆LMO is gelijkvormig met ∆FLM (stap 4)
als ∆FMO met ∆LNO (stap 5).
Hieronder staat de verhoudingstabel met de zijden van de driehoeken:
|
| zijden van ∆LNO:
| |
LN
| = |
NO |
= |
LO |
| zijden van ∆LMO:
| |
LM
| = |
MO |
= |
LO |
|
|
| zijden van ∆LFN:
| FL |
FN |
LN |
| zijden van ∆LFM:
| FL |
FM |
LM |
Omdat in beide tabellen de teller LO is en de noemers LM = LN,
daarom is de factor gelijk.
-
| Leg uit waarom |
MO + NO |
= |
LM |
|
| FM + FN |
FM + FN |
|
Antwoord:
Als twee breuken gelijk zijn, dan is het quotiënt van de som van de tellers en de som van de noemers even groot.
Bovendien MO + NO = MN (optelling van twee lijnstukken) en MN = LM (gelijkzijdigheid).
| Omdat |
LM |
= |
MO |
= |
NO |
= |
MO + NO |
= |
MN |
= |
LM |
|
| FL |
FM |
FN |
FM + FN |
FM + FN |
FM + FN |
- Bewijs dat FM + FN = FL.
Antwoord:
Als de breuken aan elkaar gelijk zijn en als de tellers aan elkaar gelijk zijn, dan moeten ook de noemers aan elkaar gelijk zijn.
| Omdat |
LM |
= |
MO + NO |
= |
MN |
(stap 7) |
| FL |
FM + FN |
FM + FN |
en omdat MN + NO = MN = LM (gelijkzijdige driehoek)
geldt nu dat FM + FN = FL.
Daarmee is het gevraagde bewezen.
|
|
Opdracht
