Gegeven werkstuk I.b

Gegeven zijn twee punten A en B, lijn AB, punt C op lijn AB, punt F buiten lijn AB, lijn AF, cirkel b om middelpunt F door punt B en factor f = 

AC

AB

, zodat AC = f × AB. Lijn AF snijdt cirkel b in de punten D en G zodat lijn DG een middellijn is van cirkel b. Op lijn AF liggen ook de punten E en H met AE = f × AD en AH = f × AG.

Meetkundige plaats

Cirkel CEH is de meetkundige plaats van alle punten P met als eigenschappen dat er een punt Q is op cirkel b, met punt P op lijn AQ en dat AP = f × AQ.

Beweging

Als punt Q over cirkel b beweegt, dan beweegt punt P over cirkel CEH zodanig dat de punten A, P en Q op één lijn liggen en dat AP = f × AQ.

Bijzonderheden

• De punten A, B en F mogen willekeurig gekozen worden: omdat punt F middelpunt is van cirkel b, punt B op cirkel b ligt, is er altijd een middellijn die door de punten A en F gaat.
• Punt C mag overal op lijn AB liggen; zowel tussen de punten A en B als in het verlengde van A als in het verlengde van B.
• Factor f mag zowel positief als negatief zijn en de absolute waarde van f mag zowel groter als kleiner dan 1 zijn.
• Middellijn DG van cirkel b mag zowel groter als kleiner zijn dan de middellijn van cirkel CEH.
• Cirkel b kan geheel binnen cirkel CEH liggen als er geheel buiten, dan wel cirkel CEH raken of snijden.

Bewijs

Het bewijs is gebaseerd op de gelijkvormigheid van de driehoeken GQD en HPE, de evenwijdigheid van de lijn GQ met de lijn HC en van de lijn QP met de lijn PE, en de stelling van Thales: ∠GQD = ∠HPE = 90°.